Demostrar que $f(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ no tiene todas las raíces racionales

Question

El polinomio de cuarto grado $f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d$ es tal que $ad$ es impar y $bc$ es incluso. Demostrar que $f(x)$ no tiene todas las raíces racionales.

Mi intento:

Claramente, f(x) se tiene 0 o 2 o 4 racionales de las raíces. Supongamos que todas las cuatro raíces de la ecuación son racionales y sean p1/p1, p2/p2, p3/p3 y p4/t4. Como la pregunta sugiere: una es impar, d es impar, b es par/impar, c es par/impar, pero, al menos uno de a, b o c debe ser par. (p1/p1)(p2/p2)(p3/q3)*(p4/t4)=d (entero impar) --(1) (p1/p1)+(p2/q2)+(p3/q3)+(p4/t4)=-a (entero impar) --(2) si - (1) es verdadera, el denominador de una raíz debe estar contenida en el numerador de las restantes raíces. Esto significa, estos numeradores no tienen denominadores que contiene un factor de su numerador. Por lo tanto, habrá al menos dos denominadores cuya mcd será 1. Por lo tanto, no podemos encontrar cuatro números racionales que añadir a dar un entero porque los números racionales sólo dar un entero si sus denominadores tienen al menos un factor común. Así, la ecuación no tiene 4 raíces racionales. Mismo puede ser explicado por 2 raíces racionales.

Así que, yo sólo quería preguntar ¿estoy en lo cierto en mi enfoque o estoy haciendo ningún error. Además, yo no soy capaz de entender por qué hay una diferencia de ad y bc como pares e impares?? Por favor, ayúdenme..

Answer 1

Para $(a,b,c,d)=(1,2,3,1)$ tenemos $ad=1$$bc=6$, pero sin embargo el polinomio $$ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=x^4 + x^3 + 2x^2 + 3x + 1=(x+1)(x^3+2x+1) $$ tiene una raíz racional. No me malinterprete algo ?

Edit: Supongo que $$ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4) $$ donde podemos suponer que la $a,b,c,d$ y todos los $a_i$ son enteros. A continuación, se obtiene, por mulriplying, $$ ad:=-(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)a_1a_2a_3a_4. $$ Sin embargo, esto muestra que $ad$ es siempre igual, porque cada $a_i$ en el producto debe ser impar, con el fin de tener $ad\equiv 1\bmod 2$, pero, a continuación, $a_1+\ldots + a_4$ es incluso. Esto es una contradicción, por lo que no todas las cuatro raíces puede ser racional.