Muestran que,si $T$ representan la unidad de vector tangente a continuación, $\frac {dT}{ds}$es perpendicular a $T$.

Question

En el libro escrito por R. M. Khan es dado que desde $T$ es la unidad de módulo de $T\frac {dT}{ds}=0$ implica $T$ $\frac {dT}{ds}$ son perpendiculares uno al otro.

Pero $\frac {dT}{ds}$ no es un buen vector o en otras palabras un vector nulo; ¿cómo puede ser el resultado obtenido?

Por favor ayuda para hacerme comprender lo que en realidad la declaración significa.

Answer 1

esto significa que la curva original, llame a $\gamma(s),$ que se requiere para ser la longitud del arco parametrizado, que es $T = \gamma'$ es siempre de longitud uno, o $T \cdot T = 1.$ El producto que dice la regla de $$(V \cdot W)' = V' \cdot W + V \cdot W'.$$ Por lo $$ 0 = (T \cdot T)' = T' \cdot T + T \cdot T' = 2 T \cdot T'. $$ Por lo $$ T \cdot T' = 0. $$ Siempre que $T' \neq 0,$ uno define una función escalar $\kappa$ y otro campo vectorial $N$ $N \cdot N = 1$ por $$ T' = \kappa N $$ con algunos cuidados necesarios al $T'=0.$

¿Qué son los $T, N, \kappa$ cuando $$ \gamma(s) = (5 \cos s, 5 \sin s) $$ en el avión?

Answer 2

La derivada de $s \mapsto \Vert T(s) \Vert^2$$2 T.\frac{dT}{ds}$.

Como $\Vert T \Vert^2=1$ es constante, la derivada es igual a cero, lo que lleva al resultado.

Answer 3

Supongamos que un vector es de magnitud constante que se tiene un escalar magnitud de la variación de la dirección de la da/dt=0. Así que relacionar esta idea con el vector T con la unidad de módulo que es dT/ds=0. Se puede realizar el producto escalar de la operación para asegurarse de que los vectores son perpendiculares. T. dT/ds=|T||dT/ds|cos© Por tanto, |T||dT/ds|cos©=0 cos©=0 /|T||dT/ds| cos©=0 ©=arccos(0) ©=90° Esto muestra que el vector T es perpendicular a dT/ds.

Answer 4

$\mathbf{T} = (T_x,T_y,T_z)$ es el vector tangente a la curva por la construcción. Si estamos hablando sobre el movimiento de una partícula a lo largo de una curva, esto apunta en la dirección de la velocidad.

$\frac{d\mathbf{T}}{ds} = (\frac{dT_x}{ds},\frac{dT_y}{ds},\frac{dT_z}{ds})$ es como el vector tangente cambia a medida que el progreso a lo largo de la curva. Esto es similar a un vector de aceleración. Apunta hacia el interior para la curvatura de la moción.

Si $T^2 = c$ donde $c$ representa cualquier longitud constante, la derivada con respecto a ds revelan que $T$ $\frac{d\mathbf{T}}{ds}$ son ortogonales.

$$T^2 = c$$ $$\frac{d}{ds}T^2 = \frac{d}{ds}c$$ $$\frac{d}{ds}(\mathbf{T}\cdot\mathbf{T}) = 0$$ $$\frac{d\mathbf{T}}{ds}\cdot\mathbf{T} + \mathbf{T}\cdot\frac{d\mathbf{T}}{ds}= 0$$

Tenga en cuenta que se aplica la regla del producto para el lado izquierdo; la derivada NO es simplemente $2T$.

$$2\frac{d\mathbf{T}}{ds}\cdot\mathbf{T} = 0$$ $$\frac{d\mathbf{T}}{ds}\cdot\mathbf{T} = 0$$

A partir de la definición de producto escalar, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = ab\cos\theta$, dos vectores son ortogonales cuando la HR se desvanece. Por lo tanto, nuestro $\mathbf{T}$ $\frac{d\mathbf{T}}{ds}$ son ortogonales.

Tenga en cuenta que este resultado no es exclusivo para el vector tangente. Es cierto de cualquier vector $\mathbf{v}$ donde $v^2 = c$.