Campos de la matanza en métricas de producto

Question

Deje $(M_i,g_i)$ ser de Riemann colectores, $i=1,2$. (Guardar Euclidiean factores) Es cierto que un campo de muerte $Z$ $(M_1\times M_2,g_1\times g_2)$ se divide como una suma de campos de Matanza $Z=X+Y$ donde $X$ está Matando a $M_1$$Y$$M_2$?

Lo contrario es obviamente cierto: si $X$ $Y$ están Matando, por lo que es $Z$; y es obviamente falsa para un producto de Euclídea espacios: $(\mathbb R^2,dx^2+dy^2)=(\mathbb R, dt^2)\times(\mathbb R, dt^2)$ y el grupo de isometría de $\mathbb R^2$ es bastante más grande que el producto de los grupos de $\mathbb R$.

La pregunta que surge a partir de una pregunta sobre las foliaciones: ¿de Riemann foliaciones con (reducible) totalmente geodésica hojas (localmente) se divide como productos de ortogonal de Riemann foliaciones?

Answer 1

Utilice el Corolario de este trabajo:

Si un compacto de Riemann colector $M$ divisiones como $M = M_1 \times M_2$, entonces la identidad de los componentes de la isometría grupo se divide en $I_0 (M) = I_0(M_1) \times I_0(M_2)$.

(Este es de los autores declaró Corolario, sino de sus principales teorema parece que puede debilitar la compacidad de su requisito de que $M$ no tiene Euclidiana factor.)

Deje $\zeta_t : \mathbb R \to I_0(M)$ ser el parámetro-grupo de isometrías generado por $Z$. Esta realidad significa que podemos escribir $\zeta_t = (\xi_t, \upsilon_t)$ $\xi_t$ que actúa sobre $M_1$, $\upsilon_t$ actuando en $M_2$. Desde $\zeta_t$ es un parámetro subgrupo, tanto en $\xi_t$ $\upsilon_t$ debe ser así, y sus generadores $X,Y$ va a satisfacer $X+Y=Z$.

Answer 2

Deje $L$ denotar la Mentira de derivados. Si $X$ es tangente a la del producto $X=(X_1,X_2)$ $X_i$ tangente a $M_i$, y la métrica divisiones como $g=(g_1,g_2)$. A continuación,$L_{(X_1,X_2)}(g_1 ,g_2)= (L_{X_1}g_1, L_{X_2}g_2)$, lo $L_Xg=0 <=> L_{X_1}g_1 = 0 $$ L_{X_2}g_2=0$