Compactación de un punto de R-Z

Question

No es difícil demostrar que la compactification de $\mathbb{R}$ (el conjunto de los números reales), menos de un conjunto finito, decir $n$ elementos, es homeomórficos a una unión de las curvas cerradas cuya intersección es un punto único. Mi intuición es que para $\mathbb{R}$ menos $\mathbb{Z}$ (el conjunto de los números enteros) es homeomórficos a una unión de countably muchas curvas cerradas tocar en un solo punto, pero no sé cómo demostrarlo.

Es mi intuición verdadera? Si no, ¿cuál es el punto de compactification de $\mathbb{R}$ menos $\mathbb{Z}$.

Answer 1

Un punto compactification de $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$ es homeomórficos a la Hawaiana pendiente. La explícita homeomorphism puede ser dado por el siguiente:

el intervalo de $(n,n+1)$ donde $n\in \{0, 1, 2, \cdots\}$, es enviado a la circunferencia de radio $1/(2n+1)$, y el intervalo de $(-n, -n+1)$ donde $n\in\{1, 2, 3, \cdots \}$, es enviado a la circunferencia de radio $1/(2n)$.

Una cosa que hay que tener cuidado es de su topología cerca de $\infty$. En el punto uno compactification, abrir los conjuntos que contengan $\infty$ son complementos de conjuntos compactos. En Hawai pendiente, conjunto abierto que contiene a $\infty$ contiene todos los círculos, excepto para un número finito de ellos. En $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$, compacto conjuntos son finitos uniones de conjuntos compactos en algún intervalo $(n,n+1)$, $n\in \mathbb{Z}$ así se corresponden exactamente.