Si un espacio topológico es trayectoria-conectado, también está conectado. Lo contrario no. ¿Puede esto remediarse?

Question

Si un espacio topológico es un camino conectado, también está conectada. Sin embargo, el recíproco de este teorema es falso.

Podemos generalizar la idea de un camino para que el contrario también se mantiene? Estaba pensando que tal vez si el dominio de una ruta era permitido ser un arbitrario conectado totalmente conjunto ordenado, esto podría solucionar el problema.

EDIT. Como Brian M. Scott explica en su respuesta, esto no soluciona el problema; así que aquí está un último esfuerzo en el salvataje de la idea. Definición: Una conectada camino en un espacio topológico $X$ es un mapeo $\gamma : T \rightarrow X,$ que conserva la conexión directa de las imágenes, donde $T$ está conectado a un conjunto totalmente ordenado que posee tanto un menor y un mayor elemento. Nota en particular de que $\gamma$ no tiene que ser continua.

¿Puede alguien ver si esto soluciona el problema o no? Queremos ser capaces de probar que un espacio topológico es el camino conectado el fib está conectado.

De todos modos, aquí está la motivación.

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El problema, como Brian, explica, es que la conexión de un linealmente ordenado el espacio, con los extremos es compacto, por lo que la imagen continua de un espacio de este tipo también es compacto y conectado. Este es un problema, porque:

1. No compacto, conectado subconjunto de la topologist de la curva sinusoidal contiene al origen y al menos otro punto de la curva, y
2. Existen countably infinito conectado espacios de Hausdorff, y no hay caminos entre los distintos puntos en un espacio de este tipo; porque si tal camino no existía, su imagen sería la de un compacto countably infinito conectado espacio de Hausdorff con al menos dos puntos, y no el espacio que existe.

Así que el problema parece ser la compacidad de la imagen de la ruta, que está implícita en la compacidad del dominio, porque la ruta está definida como una función continua. Por lo tanto, el debilitamiento de la exigencia de que las rutas necesita ser continua podría solucionar el problema.

Answer 1

Tu sugerencia sería cuidar de el largo de la línea, ya que está relacionada linealmente ordenado el espacio, pero no ayuda con la topologist de la curva sinusoidal , por ejemplo. Conectados linealmente ordenado el espacio, con los extremos es compacto, por lo que la imagen continua de un espacio de este tipo también es compacto y se conecta, pero no compacto, conectado subconjunto de la topologist de la curva sinusoidal contiene al origen y al menos otro punto de la curva.

También no ayuda con cualquiera de los diversos countably infinito conectado Hausdorff espacios que se han construido. Una generalizada de ruta en un espacio de este tipo sería una contables, conectado, compacto Hausdorff espacio, y no el espacio que existe.

Answer 2

El teorema siguiente puede ser la generalización que buscas:

Teorema. Un espacio topológico $X$ es iff conectado cada $x,y\in X$ y para cada cubierta abierta $\mathcal U$ $X$ allí es una cadena $U_1,\ldots,U_n\in\mathcal U$ % que $x$y $y$, más precisamente: $x\in U_1$, $y\in U_n$ y $U_i\cap U_{i+1}\neq\emptyset$ $i=1,2,\ldots,n-1$.

Esto es basicamente 8 teorema en la página 136 de Kuratowski - topología, vol.2. (1968).

Answer 3

Conectado, más Localmente Ruta de acceso Conectados Implica Ruta de acceso Conectado. Aquí está el corto de prueba, si usted está interesado, usted puede ir a través de él. Deje $C$ ser conectado a un conjunto que también localmente ruta de acceso conectado. Elija cualquier punto de $x$$C$, y deje $U$ ser el conjunto de puntos en $C$ que son ruta de acceso conectado a $x$. Por lo tanto $U$ es un subconjunto de a $C$. Deje $y$ ser un punto en $U$. Encerrar $y$ en un conjunto abierto $H$$C$, de tal manera que $y$ es la ruta de acceso conectado a todos los de $H$. Desde un arco se puede ejecutar desde $x$ $y$a nada en $H$, $H$ es en $U$. Por lo tanto, $U$ es la unión de bloques abiertos y está abierto, relativa a $C$.

Deje $y$ ser un punto en $C$ que es un punto límite de $U$. Poner un conjunto abierto $H$ $y$ tal que $H$ es la ruta de acceso conectado. Deje $z$ ser comunes a $H$$U$. Ahora $x$ se conecta a $z$ se conecta a $y$, e $y$$U$.

Desde $U$ contiene su límite de puntos es cerrado. por lo tanto $U$ es a la vez abierto y cerrado en $C$. Si $U$ no $C$, separada $U$ y el resto de $C$ en el abierto de conjuntos. Esto contradice el hecho de que $C$ está conectado. Por lo tanto, $U$ es de $C$, e $C$ es la ruta de acceso conectado.