¿Por qué son D ' Alembert ' s principio y el principio de menos acción relacionados?

Question

¿Por qué nos da el mismo ecuaciones diferenciales de ambos principios? Sin duda hay una conexión fundamental entre ellos? Cuando escriben, los dos parecen tener nada en común.

$$\sum _i ( \mathbf F _i - \dot{\mathbf p}_i) \cdot \delta \mathbf r _i = 0$$

$$S[q(t)] = \int ^{t_2} _{t_1} \mathcal L (q,\dot{q},t)dt$$

Después de jugar con d'Alembert principio nos encontramos con que podemos reescribir toda la cosa como $$\sum _i \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_i}-Q_i\right] \delta q_i$$

Esto puede escribirse bajo ciertas condiciones para obtener la forma exacta de la E-L de la ecuación.

A mí me parece que ambas maneras de llegar a el resultado son fundamentalmente diferentes.

Una función debe obedecer a la dirección de E-L ecuaciones con el fin de minimizar la acción a través de una ruta de acceso, pero cuando nos fijamos en el trabajo virtual, parece que vienen del hecho de que (citando a Goldstein) "las partículas en el sistema estará en equilibrio bajo una fuerza igual a la fuerza real más un 'invertidos efectivos de la fuerza'."

Creo entender el principio de acción estacionaria, puedo ver cómo esto conduce a la E-L ecuaciones, pero d'Alembert Principio parece tan arbitrario, no puedo ver ninguna motivación.

Answer 1

El principio de la menor (Estacionario), la Acción (aka Hamilton Principio) se derivan de los axiomas de Newton plus D'Alembert del principio de los desplazamientos virtuales.

Debido a D'Alembert del principio permite a cuenta de la (reacciones) de los vínculos entre los componentes de un sistema de un modo transparente, el Lagrangiano y Hamiltoniano formulaciones son posibles.

Nota 1: los axiomas de Newton, como dado, no se puede derivar ni el Lagrangiano de la forma ni el Hamiltoniano como que necesitarían las reacciones de los bonos a ser añadido, literalmente, dentro del formalismo, lo que resulta en diferentes dimensionalidad y las ecuaciones para el mismo problema donde el (reacciones de) las restricciones aparecer como extra incógnitas.

Note2: D'Alembert del principio es más general que el de Lagrange o de Hamilton formalismos, como se puede dar cuenta también para los no-holonomic bonos (en un ligero generalización).

UPDATE1:

Cuando las fuerzas conservadoras, lo que significa que deriva de un potencial de $V(q_i)$ i.e $Q_i = -\frac{\partial V}{\partial q_i}$, y el potencial no depende de las velocidades de la $\dot{q_j}$ i.e $\partial V / \partial \dot{q_j} = 0$ (o el potencial de $V(q_i, \dot{q_i})$ puede depender de velocidades en una forma específica i.e $Q_i = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial V}{\partial \dot{q_i}} \right) - \frac{\partial V}{\partial q_i}$, conocidos como generalizada potetial, como en el caso del Electromagnetismo), entonces las ecuaciones de movimiento se convierte en:

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_i}-Q_i = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i}$$

donde $L=T-V$ es el Lagrangiano.

(ref: Mecánica Teórica, Vol II, J. Hatzidimitriou, en griego)

UPDATE2:

Uno puede, de hecho, formular el principio de D'Alembert como un "principio de acción", pero esta "acción" es, en general, muy diferente de la conocida Hamiltonianos/Lagrangiano de la acción.

1. Principios variacionales de la mecánica clásica

2. Principios Variacionales Hoja De Trucos

3. LA GENERALIZACIÓN DE D' ALEMBERT-LAGRANGE ECUACIÓN

4. 1.2 la Prehistoria del Enfoque de Lagrange

5. GENERALIZADA DE LAGRANGE–PRINCIPIO DE D'ALEMBERT

Para una mayor generalización de d'Alembert-Lagrange-Gauss principio de no-lineal (no ideal) restricciones de ver el trabajo de Udwadia Firdaus (por ejemplo Nuevo Principio General de la Mecánica y Su Aplicación el General no ideales Nonholonomic Sistemas)