¿Cómo demostrar que este medio iterado da $\frac{2 \cdot 2^{7/8}}{\vartheta _2\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$ $a_0=2,b_0=1$?

Question

Me trató de una manera muy simple reiterado media y tiene una muy extraña forma cerrada para un valor determinado. La secuencia en cuestión dice así:

$$a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}, \qquad b_{n+1}=\frac{a_{n+1}+b_n}{2}$$

Tenga en cuenta que esto se parece a la de la Aritmética-media Armónica (es decir, sólo la media Geométrica, o el método para calcular raíces cuadradas), sin embargo, es diferente, ya que sustituimos el valor actual de $a_n$$b_n$, en lugar del valor anterior.

$$a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}, \qquad b_{n+1}=\frac{3a_nb_n+b_n^2}{2(a_n+b_n)}$$

Por lo tanto, esta es similar en espíritu a la Schwab-Borchardt decir, pero esto es una secuencia racional. Es fácil demostrar que converge:

$$L(a_0,b_0)=\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$$

Lo que es verdaderamente sorprendente, la forma cerrada que tengo para el caso sencillo:

$$L(2,1)=\frac{2 \cdot 2^{7/8}}{\vartheta _2\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}=\frac{2}{\sum_{k=0}^\infty 2^{-k(k+1)/2}}=$$

$$=1.2182994221324572310422292086114491025901998820372$$

Obtuve la forma cerrada de una manera indirecta con Inversa Simbólico de la Calculadora, OEIS y Mathematica.

Este es uno de los Jacobi funciones elípticas. Hasta ahora no he encontrado ninguna conexión entre las funciones elípticas y este tipo de recorrerse medio. Salvo, naturalmente, la de las integrales elípticas y la aritmética-media geométrica, sino que es un caso diferente.

Ni soy capaz de encontrar el general de la forma cerrada para $L(x,y)$, o cualquier otro particular forma cerrada.

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Algunas consideraciones elementales.

$$a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n+b_n}\frac{a_n-b_n}{2}<a_n-b_n$$

$$\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\frac{b_n}{a_n}=1+\frac{1}{4^{n+1}} \left(\frac{b_0}{a_0}-1 \right)$$

Por lo tanto, si $b_n/a_n=q_n$:

$$q_n=1+\frac{q_0-1}{4^n}$$

Además, el uso de la primera definición de la secuencia, tenemos:

$$b_n=2b_{n+1}-a_{n+1}=a_{n+1}(2q_{n+1}-1)=a_nq_n$$

$$a_{n+1}=\frac{q_n}{2q_{n+1}-1}a_n$$

$$\color{blue}{a_n=a_0 \prod_{k=0}^{n-1} \frac{1+\dfrac{q_0-1}{4^k}}{1+\dfrac{q_0-1}{2 \cdot 4^k}}}$$

Separar el numerador y el denominador y tomando el límite, se obtiene estudiado bien infinito productos:

$$ \prod_{k=0}^\infty \left(1+\frac{q_0-1}{4^k} \right)$$

$$\prod_{k=0}^\infty \left(1+\frac{q_0-1}{2 \cdot 4^k} \right)$$

Puedo ver la conexión con Jacobi funciones de ahora. Es bastante simple, pero parece que la forma cerrada sólo existe para los casos especiales, como la de arriba.

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El uso de q-Pochhammer símbolos, obtenemos:

$$L(x,y)=x \frac{(1-y/x;1/4)_{\infty}}{((1-y/x)/2;1/4)_{\infty}}$$

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Aquí es un interesante papel, relativos Theta funciones con iterativo: https://www.math.washington.edu/~morrow/documentos/nate-tesis.pdf

Answer 1

$b_0/a_0=q_0$:

$$\color{blue}{L(a_0,b_0)=a_0 \prod_{k=0}^{\infty} \frac{1+\dfrac{q_0-1}{4^k}}{1+\dfrac{q_0-1}{2 \cdot 4^k}}}$$

$a_0=2$

$b_0=1$

$b_0/a_0=q_0=1/2$:

$$L(2,1)=2 \prod_{k=0}^{\infty} \frac{1-\dfrac{1}{2.4^k}}{1-\dfrac{1}{4 \cdot 4^k}}$$ $$L(2,1)=2 \prod_{k=0}^{\infty} \frac{1-\dfrac{1}{2^{2k+1}}}{1-\dfrac{1}{ 2^{2k+2}}}$$

$q_0=1/2$:

$$L(2,1)=2 \prod_{k=0}^{\infty} \frac{1-q_0^{2k+1}}{1-q_0^{2k+2}}$$

$$L(2,1)=2 \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1-q_0^{2k-1}}{1-q_0^{2k}}=2 \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1-q_0^{2k-1}}{(1-q_0^{k})(1+q_0^{k})}$$

$$L(2,1)=2 \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(1-q_0^{2k})(1+q_0^{k})}=2 \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(1-q_0^{k})(1+q_0^{k})(1+q_0^{k})} \tag 1 $$

La Jacobi triple identidad del productoes: $$\prod\limits_{n=1}^{ \infty }(1-q^{2n})(1+zq^{2n-1})(1+z^{-1}q^{2n-1})=\sum\limits_{n = - \infty }^ \infty z^n q^{n^2} $$

$q=q_0^{1/2}$ $z=q_0^{1/2}$

$$\prod\limits_{n=1}^{ \infty }(1-q_0^{n})(1+q_0^{1/2}q_0^{(2n-1)/2})(1+q_0^{-1/2}q_0^{(2n-1)/2})=\sum\limits_{n = - \infty }^ \infty q_0^{n/2} q_0^{n^2/2} $$

$$\prod\limits_{n=1}^{ \infty }(1-q_0^{n})(1+q_0^{n})(1+q_0^{n-1})=\sum\limits_{n = - \infty }^ \infty q_0^{\frac{n(n+1)}{2}} $$

$$(1+q_0^{0})\prod\limits_{n=1}^{ \infty }(1-q_0^{n})(1+q_0^{n})(1+q_0^{n})=\sum\limits_{n = - \infty }^ \infty q_0^{\frac{n(n+1)}{2}} $$

$$2\prod\limits_{n=1}^{ \infty }(1-q_0^{n})(1+q_0^{n})(1+q_0^{n})=2\sum\limits_{n = 0 }^ \infty q_0^{\frac{n(n+1)}{2}} $$ Sabemos que $q_0=1/2$: Por lo tanto,

$$\prod\limits_{n=1}^{ \infty }(1-q_0^{n})(1+q_0^{n})(1+q_0^{n})=\sum\limits_{n = 0 }^ \infty 2^{-\frac{n(n+1)}{2}} $$

Si ponemos el resultado en la ecuación (1);

$$L(2,1)=2 \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(1-q_0^{k})(1+q_0^{k})(1+q_0^{k})} =\frac{2}{\sum_{k=0}^\infty 2^{-\frac{k(k+1)}{2}}} \tag 2 $$

$$L(2,1)=\frac{2 \cdot 2^{7/8}}{\vartheta _2\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}=\frac{2}{\sum_{k=0}^\infty 2^{-\frac{k(k+1)}{2}}}$$