¿Cómo encuentro la pendiente de la bisectriz de un ángulo, dadas las ecuaciones de las dos rectas que forman el ángulo?

Question

La ecuación de la primera línea es $y = \frac{1}{2}x - 2$ y la ecuación de la segunda línea es $y = 2x + 1$ . Se cruzan en $(-2, -3)$ .

Alguien me ha dicho que puedo simplemente promediar las pendientes de las dos rectas para encontrar la pendiente de la bisectriz, pero no estoy seguro de que sea correcto.

Answer 1

Si tiene dos líneas

$$ L_1 : a_1x+b_1y+c_2 = 0 $$

y

$$ L_2 : a_2x + b_2y + c_2 = 0, $$

entonces la ecuación de sus bisectrices viene dada por

$$ \frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}. $$

donde el $+$ y $-$ hacer la diferencia entre las dos bisectrices. Sólo tienes que simplificar cada ecuación y leer la pendiente.

Answer 2

La sugerencia que tienes es completamente errónea. En este caso concreto, basta con observar que las rectas cuyas pendientes son recíprocas, son simétricas respecto a las rectas con pendiente $+1$ y $-1$ .

Answer 3

Para estar en el camino correcto, dejemos $Ax + By + C =0, ax + by + c =0 $ La bisectriz angular es un lugar de la recta, de modo que las longitudes de las perpendiculares que parten de ella hacia las rectas dadas son iguales. La forma polar de la recta es útil en este caso.

$$ \frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}} = \pm \frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$

El $+$ El signo se toma cuando los brazos contienen el origen para la bisectriz interna, $-$ signo para la bisectriz externa perpendicular a ella. Ahora puedes encontrar su pendiente.

Answer 4

Tomemos los vectores unitarios paralelos a las rectas: su suma será paralela a una de las bisectrices, su diferencia será paralela a la otra.
Para determinar cuál es el que biseca el ángulo agudo/obtuso, basta con tomar el producto punto de los dos vectores:

• si es positivo, entonces su suma será paralela a la bisectriz aguda bisectriz aguda y su diferencia a la obtusa
• viceversa si el producto punto es negativo.

nota: este método es válido también en 3D. En 2D se puede aplicar el mismo método a los vectores unitarios normales (en lugar de paralelos).

en su ejemplo (utilizando vectores paralelos)

Reescribir las ecuaciones de la línea en el proporcional formulario $$ \left\{ \begin{gathered} y = \frac{1} {2}x - 2\quad \Rightarrow \quad \frac{{x - 0}} {2} = \frac{{y - \left( { - 2} \right)}} {1} \hfill \\ y = 2x + 1\quad \Rightarrow \quad \frac{{x - 0}} {{1/2}} = \frac{{y - 1}} {1}\quad \Rightarrow \quad \frac{{x - 0}} {1} = \frac{{y - 1}} {2} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$

entonces los vectores unitarios paralelos son $$ \mathbf{u} = \frac{1} {{\sqrt 5 }}\left( {2,1} \right)\quad \mathbf{v} = \frac{1} {{\sqrt 5 }}\left( {1,2} \right)\quad 0 < \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{4} {5} $$ y el ángulo entre ellos es agudo. Su suma y diferencia es $$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \frac{1} {{\sqrt 5 }}\left( {3,3} \right)\quad \mathbf{u} - \mathbf{v} = \frac{1} {{\sqrt 5 }}\left( {1, - 1} \right) $$ y las ecuaciones de las rectas bisectrices serán: $$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{x - x_{\,c} }} {3} = \frac{{y - y_{\,c} }} {3}\quad \Rightarrow \quad x + 2 = y + 3\quad \Rightarrow \quad y = x - 1\;\;acute \hfill \\ \frac{{x - x_{\,c} }} {1} = \frac{{y - y_{\,c} }} {{ - 1}}\quad \Rightarrow \quad x + 2 = - y - 3\quad \quad \Rightarrow \quad y = - x - 5\;\;obtuse \hfill \\ \end{gathered} \right. $$

Answer 5

La línea 1 es $y = \frac 12 x - 2$ . La línea 2 es $y = 2x +1$ . Se cruzan en $(-2-3)$ .

Si en la línea 1 te pasas en $x$ $2$ unidades que subirá en $y$ por $1$ unidad. Esto lo pondrá en $(0, -2)$ . La distancia recorrida es $\sqrt {1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ .

Si en la línea 2 te pasas en $x$ $1$ unidades que subirá en $y$ por $2$ unidad. Esto lo pondrá en $(-1, -1)$ . La distancia recorrida es $\sqrt {2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ .

La bisectriz del ángulo pasará por el punto medio de $(0,-2)$ y $(-1,-1)$$ * $. So the angle bisector will go through $ (- \frac 12, -1 \frac 12) $. So the angle bisector goes through the point $ (-2,-3) $ and $ (- \frac 12, -1 \frac 12) $ so the slope is $\frac {-1 \frac 12 - (-3)}{-1 \frac 12 -(-2)} = \frac {1 \frac 12}{1 \frac 12} = 1$.

$*$ porque... $A = (-2,-3); B= (0,-2); C=(-1,-1);$ y $AB$ = $AC= \sqrt{5}$ así que $\triangle BAC$ es isóceles, y la bisectriz del ángulo de $\angle BAC$ pasa por el punto medio de $BC$ .

\==== detalles en general ====

Tu amigo no tiene razón. Puede promediar el ángulos pero las pendientes no son ángulos y no hay una conversión lineal entre ellas. (Hay una trigonométrico conversión entre ellos. Pero no una conversión lineal).

Tengan paciencia conmigo.

Supongamos que las dos líneas se cruzan en $(u,v)$ y la línea $1$ tiene pendiente $m$ y la línea $2$ tiene pendiente $n$ .

Muévete a lo largo de la línea $1$ de $(u,v)$ una distancia de $1$ unidad. Tendrá que mover $\delta $ en el $x$ dirección y $m*\delta $ en el $y$ dirección por lo que su distancia total es $\sqrt{\delta^2 + m^2\delta^2} = 1$ .

Así que $\delta\sqrt{1 + m^2} = 1$ así que $\delta = \frac 1{\sqrt{1 + m^2}}$ .

Así que el punto de la línea $1$ que está a una unidad de distancia de $(u, v)$ es el punto $(x_1, y_1) = (u + \frac 1{\sqrt{1 + m^2}}, v + \frac m{\sqrt{1 + m^2}})$ .

Asimismo, el punto de la línea $2$ que está a una unidad de $(u,v)$ será el punto $(x_2, y_2) = (u + \frac 1{\sqrt{1 + n^2}}, v + \frac n{\sqrt{1 + n^2}})$

La bisectriz del ángulo contendrá el punto medio de $(x_1, x_2)$ y $(x_2, y_2)$ .

El punto medio es $(x_m, y_m) = (u + \frac{[\frac 1{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac 1{\sqrt{1 + n^2}}]}2, w + \frac{[\frac m{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac n{\sqrt{1 + n^2}}]}2)$ .

Así que .... la pendiente de la bisectriz del ángulo será:

$\frac {y_m - v}{x_m - u}= \frac{\frac{[\frac m{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac n{\sqrt{1 + n^2}}]}2}{\frac{[\frac 1{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac 1{\sqrt{1 + n^2}}]}2}=$

$\frac{[\frac m{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac n{\sqrt{1 + n^2}}]}{[\frac 1{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac 1{\sqrt{1 + n^2}}]}=\frac{m\sqrt{1 + n^2}+n\sqrt{1 + m^2}}{\sqrt{1 + m^2}+\sqrt{1 + n^2}}$

$[\frac{m\sqrt{1 + n^2}+n\sqrt{1 + m^2}}{\sqrt{1 + m^2}+\sqrt{1 + n^2}}=\frac{\frac 12\sqrt{1 + 2^2}+2\sqrt{1 + \frac 12^2}}{\sqrt{1 + \frac 12^2}+\sqrt{1 + 2^2}}=\frac{\sqrt{5}/2+ \sqrt{5}}{\sqrt{5}+ \sqrt{5}/2}=1]$

La cual... Debo confesar que es una fórmula que nunca aprendí y que nunca esperaría que alguien memorizara. Yo esperaría que si uno necesita encontrar la pendiente de una bisectriz de un ángulo la calculara para las líneas específicas.

Quizá puedas simplificar más esa ecuación.

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Esa ecuación es una especie de "media"; sólo que no es una media aritmética estándar.

Se puede calcular la media de los ángulos de las líneas. Pero las pendientes no son ángulos y no tienen una conversión lineal.

Si sabes de trigonometría:

Pendiente = $\frac{rise}{run} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ por lo que el ángulo de una línea es $\theta = \arctan m$ .

Así que el ángulo de la bisectriz del ángulo es $\psi = \frac {\theta + \omega}2 = \frac {\arctan(m) + \arctan(n)}2$

Y la pendiente de la bisectriz del ángulo es $k = \tan(\psi) = \tan(\frac {\arctan(m) + \arctan(n)}2)=\frac{m\sqrt{1 + n^2}+n\sqrt{1 + m^2}}{\sqrt{1 + m^2}+\sqrt{1 + n^2}}$