$f$ es una funcion todo transecendental que no necesito es densa en $\{w : f^{-1}(w) \text{ is infinite}\}$ $\mathbb{C}$ tengo idea cómo probarlo, por favor ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí están los hechos que usted necesita saber para el siguiente (corto de la prueba):
Teorema: La única totalidad de las funciones de $f$ con un polo en el infinito (es decir, que los $\displaystyle f\left(\frac{1}{z}\right)$ tiene un polo en $0$) son polinomios
Nota: Usted puede saber este resultado como "la única meromorphic funciones en $\mathbb{P}^1$ son racionales".
$\text{ }$
Teorema(Abierto de Asignación Teorema:) Cada holomorphic función es una asignación abierta
$\text{ }$
Teorema(de Categoría de Baire Teorema): En un espacio métrico, el contable de la intersección de abiertos densos subconjuntos densos.
Usted puede encontrar las pruebas para la primera de las dos en cualquier estándar de análisis complejo de texto, y la última en cualquier punto-conjunto de tex.
Ok, ya $f$ no es un polinomio sabemos que $f$ tiene una singularidad esencial en a $\infty$. En otras palabras, $\displaystyle f\left(\frac{1}{z}\right)$ tiene una singularidad esencial en a $0$ (este es el primer teorema). Deje $B_n'$ ser perforado disco de radio $\displaystyle \frac{1}{n}$ centrada en $0$. Desde $0$ es una singularidad esencial de la Casorati-Weierstrass teorema nos dice que cada una de las $f(B_n')$ es denso en $\mathbb{C}$. Pero, por la asignación abierta teorema también sabemos que $\displaystyle f(B_n')$ está abierto en $\mathbb{C}$. Por lo tanto, $\left\{f(B_n')\right\}$ es una contables de la colección de la densa abrir los subconjuntos de a $\mathbb{C}$, y por lo tanto por la Categoría de Baire Teoría de la $\displaystyle \bigcap_n f(B_n')$ es denso en $\mathbb{C}$. Pero, tenga en cuenta que
$$\displaystyle \bigcap_n f(B_n')\subseteq\left\{w\in\mathbb{C}:f^{-1}(w)\text{ is infinite}\right\}$$
De hecho, si $\displaystyle w\in\bigcap_n f(B_n')$ entonces existe un punto de $z_n$ en cada una de las $B_n'$ tal que $f(z_n)=w$. Desde cualquier punto dado en un número finito de $B_n'$ vemos que $\{z_n\}$ es infinito. Por lo tanto, $f^{-1}(w)$ es infinito.
