$\exists\text{ set }X:X=X^X$ ?

Question

Dados los conjuntos A y B, defina el conjunto $B^A$ el conjunto de todas las funciones A $\to$ B.

Mi pregunta es: ¿Existe un conjunto X tal que X = $X^X$ ?

¿Tiene esto algo que ver con el axioma de regularidad?

Answer 1

Sugerencia :

1. Por un argumento de cardinalidad se deduce $|X|=1$ .
2. Ahora, ¿puede tal $X$ satisfacer $X = X^X$ ?

Answer 2

Recordemos que una función $X\to X$ es en realidad un subconjunto $f\subseteq X\times X$ cumplir el requisito $$\forall a\in X.\ \exists! b\in X.\ (a, b)\in X.$$ Además, tenga en cuenta que un par $(a, b)$ se define como el conjunto $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ .

Ahora, supongamos que hay un $X$ con $X=X^X$ . Desde $\emptyset$ no es obviamente el mismo que el conjunto $\emptyset^{\emptyset}=\{\mathrm{id}_\emptyset\}$ y para $X$ con $|X| \geq 2$ tenemos $|X^X| \geq |2^X|> |X|$ y por lo tanto $X\not = X^X$ podemos deducir que $|X|=1$ . Sea $X=\{\bullet\}$ . Este elemento único $\bullet\in X$ tiene que ser igual a la función $\mathrm{id}_X$ porque suponíamos $X$ sea igual que $X^X = \{\mathrm{id}_X\}$ . Según nuestras definiciones $$\mathrm{id}_X=\{(\bullet, \bullet)\}=\{\{\{\bullet\}, \{\bullet, \bullet\}\}\}=\{\{\{\bullet\}\}\}.$$ Pero ya hemos dicho que $\mathrm{id}_X=\bullet$ . Por lo tanto $\bullet=\{\{\{\bullet\}\}\}$ que está prohibido por el axioma de la regularidad .