Levado

Question

$\sum_\limits{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}\geq 1$ todos los $n\geq 2$

Basecase n=2

$\sum_\limits{k=1}^{2-1}\frac{1}{\sqrt{k(2-k)}}=1\geq 1$

Asunción

$\sum_\limits{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}\geq 1$ mantiene para algunos $n$

Reclamación

$\sum_\limits{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k(n+1-k)}}\geq 1$ mantiene demasiado

Paso Suponga $n$ es impar

$\sum_\limits{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k(n+1-k)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{2(n-1)}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$

Entonces, para determinar cuales de esos términos es el más pequeño, se desea encontrar el máximo de $k(n+1-k)$.

El deriviative sería $n+1-2k$. Por lo $k=\frac{n+1}{2}$, es por eso que asumimos $n$ es extraño en este paso.

Así que nuestro pequeño plazo parece: $\frac{1}{\sqrt{(\frac{n+1}{2})^2}}=\frac{2}{n+1}$

Y ya que agregamos este plazo $n$ a veces, la suma es acotada abajo por $\frac{2}{n+1}n=\frac{2n}{n+1}$.

A través de la inducción es muy fácil de ver, que $\frac{2n}{n+1}>1$ para todo n>1, que es todo lo que nos interesa.

Ahora, ¿cómo debo proceder para que incluso los $n$?

Answer 1

Usar $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$ sigue que $\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}\geq \frac{2}{n}$, por lo tanto lhs $\geq \frac{2(n-1)}{n}\geq1$ $n\geq 2$.

Answer 2

% De AM-GM $\sqrt{k(n-k)} \le \frac{1}{2}\big(k+(n-k)\big) = \frac{n}{2}\,$entonces:

$$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}\geq \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{n} = \frac{2(n-1)}{n} \ge 1 \;\;\text{for}\;\; n \ge 2$$