He tratado de resolver el siguiente problema de Ahlfors complejos de análisis de texto:
Si un elemento de función $(f,\Omega)$ no tiene directa de la analítica de las continuaciones de otros a los que se obtienen mediante la restricción de $f$ a una región más pequeña, entonces el límite de $\Omega$ se llama un límite natural para $f$. Demostrar que la serie $\sum_{n=0}^\infty z^{n!}$ tiene el círculo unitario como una frontera natural. Sugerencia: Muestre que la función tiende a infinito en cada radio de cuyo argumento es un racional múltiples de $\pi$.
Mi intento:
Deje $q \in \mathbb Q$ ser un número racional, con la reducción de la forma $a/b$ donde $a \in \mathbb Z,b \in \mathbb N$. Para $r<1$ tenemos $$f\left(r e^{i q \pi}\right)=\sum_{n=0}^\infty r^{n!} e^{i q n! \pi}= \sum_{n=0}^{b+1} r^{n!} e^{i q n! \pi}+\sum_{n=b+2}^\infty r^{n!} e^{i \frac{a}{b} n! \pi} $$
En la última suma tenemos $e^{i \frac{a}{b} n! \pi}=1$$n \geq b+2$, ya que el exponente es un múltiplo de a $\pi i$. Por lo tanto el uso de la inversa de la desigualdad del triángulo $$\left|f \left( r e^{i q \pi} \right) \right|=\left|\sum_{n=0}^{b+1} r^{n!} e^{i q n! \pi}+\sum_{n=b+2}^\infty r^{n!} \right| \geq \left| \sum_{n=b+2}^\infty r^{n!}- \left| \sum_{n=0}^{b+1} r^{n!} e^{i q n! \pi} \right| \right|.$$
Tomando $r$ lo suficientemente cerca de a $1$ la serie $\sum_{n=b+2}^\infty r^{n!}$ puede hacerse arbitrariamente grande. De hecho, si $r \geq \sqrt[N!]{1/2}$ $N$ grande la serie contiene, al menos, $N-b-1$ términos que se $\geq 1/2$. De ello se desprende que para $r$ lo suficientemente cerca de a $1$ suma $\sum_{n=b+2}^\infty r^{n!}$ pueden hacerse más grande de lo que $$M:= \max_{r \in [0,1]} \left| \sum_{n=0}^{b+1} r^{n!} e^{i q n! \pi} \right|<\infty ,$$ making the external absolute value redundant. For all such sufficiently close numbers $r$ we have $$\left| f \left( r e^{i q \pi} \right) \right| \geq \sum_{n=b+2}^\infty r^{n!}-M $$ which tends to $\infty$ as $i \1^-$.
Desde $\left\{ e^{i q \pi} : q \in \mathbb Q \right\}$ es un subconjunto denso de la unidad círculo de la anterior impide la existencia de directo continuación analítica por la función de los elementos $(g,\Omega')$, a menos que $\Omega' \subseteq \Omega$. Esto es cierto ya que si $\Omega'$ hojas de $\Omega$ debe contener un límite de punto de cuyo radio correspondiente tiene un argumento que es un racional múltiples de $\pi$. Desde $f=g$ $\Omega \cap \Omega'$ se sigue que $g$ tiene infinito como el radial límite hacia el borde de punto que contradice la analiticidad de $g$ no.
Es el de arriba, ¿correcto? Si no por favor me ayude a solucionarlo. Gracias!
