$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over {\sqrt n }} \left({1 \over {\sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 2 }} +\cdots+{1 \over {\sqrt n }}\right)$

Question

%#% $ #% (Sin el uso de integrales). Era capaz de exprimir de la parte inferior a $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over {\sqrt n }} \left({1 \over {\sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }}+\cdots+{1 \over {\sqrt n }}\right)$, pero eso no es lo suficientemente bueno.
Espera por ayuda.

Answer 1

$$ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{{\sqrt{n} + \sqrt{n}}} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$$

Añadir las desigualdades de 1 a n,

$$\sqrt{n+1} - 1 > \frac{1}{2}\left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$

también para límite inferior tenga en cuenta que,

$$\left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right) > \left( \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \cdots+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right)= \frac{n}{\sqrt{n}}$$

así tenemos %#% $ #%

Ahora el teorema del sandwich nos dice ese límite es 2

Editar:

$$2(\sqrt{n+1} - 1) > \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right) > \sqrt{n}$$

$$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$$

Añadir de 1 a n y que %#% $#%,

entonces, $$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}} $ $

$$S = \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$