¿Unitarity implica conservación de la energía?

Question

No hace mucho, alguien empezó a discutir el pensamiento y la motivación detrás de la de Lagrange y su formalismo para la Newtoniano marco y una comprensión intuitiva de tal formalismo. De alguna manera, terminó en el caso de que el Lagrangiano puede ser entendido en términos de conservación de la información (en gran medida) sin tener que depender de otras leyes.

Es esta línea de argumento correcto? Y, lo que es más importante, ¿significa esto que unitarity es una declaración más fuerte que la conservación de la energía?

Answer 1

Yo apologsise para este ser sólo una respuesta parcial. Me puede responder a las preguntas en su título y en el párrafo final, pero el primer párrafo parece bastante a una cuestión diferente, y que por el momento no estoy seguro de la respuesta. (Algunos detalles más podría ayudar, por ejemplo, un enlace a la discusión que usted menciona.)

Para responder a la pregunta del título, considerar la evolución unitaria expresada en su mayoría de forma general: $$ |\psi\rangle(t) = U(t) |\psi_0\rangle. $$ Por un tiempo independiente de sistema de $U(t)$ debe tener la propiedad de que la $U(t_2)U(t_1) = U(t_2+t_1)$. Esto implica que $U(t) = A^t$ para algunos unitario operador $A$. Uno puede expresar $A$ $e^{-iH}$ para algunos Hermitian operador $H$, lo que nos da $$ |\psi\rangle(t) = e^{-iHt} |\psi_0\rangle, $$ o, la diferenciación,la $$ \frac{d}{dt}|\psi\rangle = -iH|\psi\rangle, $$ que es la ecuación de Schrödinger. Si uno considera $H$ a ser observable y define la energía como sus expectativas, se deduce que la energía se conserva. Por lo tanto podemos concluir que unitarity, junto con el tiempo de la independencia, implica la conservación de la energía.

En su párrafo final que también pregunte acerca de la inversa de este, es decir, la conservación de la energía implica unitarity? Esto depende de cómo se defina la energía. Muchos de los sistemas dinámicos tienen leyes de conservación sin ser unitaria, y si se define la energía como la cosa que se conserva en estos casos, habría que concluir que unitarity es una declaración más fuerte que la conservación de la energía. Por otro lado, si usted restringir el término "energía" para referirse a la expectativa de que el Hamiltoniano, entonces usted ya ha asumido la ecuación de Schrödinger en la toma de la definición, por lo unitarity sigue trivialmente. En ese caso, la conclusión es que la conservación de la energía y unitarity son equivalentes, ni con la declaración de ser más fuerte que el otro.

Answer 2

No. Unitarity garantiza que, siempre que el Hamiltoniano existe, la energía es un número real, pero esto no implica la conservación de la energía.

Escrito $$|\psi(t)\rangle = U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle\text{,}$$ debemos tener la composición ley $$U(t+t',t_0) = U(t+t',t')U(t',t_0)\text{.}$$ Si $U$ es la traducción de todos los idiomas, $U(t+t',t_0+t') = U(t,t_0)$, entonces se sigue que $U(t+t',0)$ $=$ $U(t+t',t')U(t',0)$ $=$ $U(t,0)U(t',0)$, así que podemos aprovechar $U(t,0) = A^t$ y utilice el hecho de que el logaritmo de un operador unitario es sesgar-hermitian siempre existe: $A = e^{-iH/\hbar}$ para algunas constantes, hermitian $H$.

Si no es el momento-la traducción de todos los idiomas, no se puede hacer esto. Al igual que con la mecánica clásica, la conservación de la energía y el tiempo de traducción están vinculados. Sin embargo, por poco tiempo-traducciones $\delta t$, $$U(t+\delta t,t_0) = U(t,t_0) + (\delta t)\dot{U}(t,t_0) + {\mathcal O}(\delta t^2)\text{,}$$ y unitarity requiere que, a primer orden en $\delta t$, $$\begin{eqnarray*} 1 &=& \left[U(t,t_0) + (\delta t)\dot{U}(t,t_0)\right]\left[U(t,t_0) + (\delta t)\dot{U}(t,t_0)\right]^\dagger \\ &=&1 + (\delta t)\underbrace{\left[\dot{U}U^\dagger + U\dot{U}^\dagger\right]}_0\text{.} \end{eqnarray*}$$ Así, el operador $\dot{U}U^\dagger$ es sesgar-hermitian, por lo que la definición de $H = i\hbar \dot{U}U^\dagger$, $H$ debe ser hermitian, y, en particular, $$\begin{eqnarray*} U(t+\delta t,t_0) &=& U(t,t_0)U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0)\\ &=& \left[1+(\delta t)\frac{H}{i\hbar}\right]U(t,t_0)\text{.} \end{eqnarray*}$$ Re-organización y tomando el límite cuando $\delta t\to 0$, $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0) = HU(t,t_0)\text{,}$$ que es la ecuación de Schrödinger para el tiempo de evolución de operador. A los habituales ecuación de Schrödinger se sigue inmediatamente por la multiplicación por el estado ket.

...

En la otra cara, la conservación de la energía, en el sentido de independiente del tiempo de Hamilton, no es garantía de unitarity. Para un ejemplo trivial, tomar un nonrelativistic de partículas con Hamiltonianos $\hat{\mathcal H} = \frac{1}{2m}{\hat{p}}^2 + V(x)$ con complejo, pero a la vez independiente de potencial. Entonces la probabilidad de que no se conserva, como (por la derecha imaginario signo) de la partícula tiene una forma exponencial descomposición de la probabilidad de estar alrededor.

Answer 3

Como se mostró en la respuesta de Stan Liou, el unitarity de la evolución operador $U$ no implica la conservación de la energía, sólo implica que el hamiltoniano $H(t)$ es un hermitian operador y de un observable, y por lo mensurable de valor de la energía es un número real.

De manera más general, el hecho de que la energía y el impulso de los operadores son observables, venir, "in fine", que el clásico de lagrange, y el clásico de acción, son cantidades reales.

El Unitarity de $U$ implica (para un estado puro), la conservación de la información (a lo largo de variaciones en el tiempo), o, equivalentemente, la conservación de la total probabilidad (a lo largo de variaciones en el tiempo).

Sobre la una de la otra manera, la conservación de la energía y la conservación de momentum, se encuentran respectivamente a partir de un tiempo invariancia , y un espacio de invariancia de la lagrangiana.