Construcción de los números naturales sin teoría de conjuntos.

Question

Según tengo entendido la idea de definir todo como sistemas es una idea relativamente nueva en las matemáticas. ¿Significa que hay una definición teórica no conjunto de los números naturales? ¿Podría existir?

Answer 1

Una forma de construir los números naturales (sin juegos) es el tipo de teoría. Definimos un tipo inductivo $\mathbb{N}$ con dos constructores:

$$ 1 : \mathbb{N} $$ $$ S : \mathbb{N} \to \mathbb{N} $$

Donde$S$ ", añade uno de los varios. En este sistema de $2$ está representado por $S(1)$, $3$ está representado por $S(S(1))$ etc. Esta es, esencialmente, de una manera más directa la aplicación de los axiomas de Peano.

Answer 2

Aquí es un "ingenuo" de la construcción. Un "número natural" es una secuencia de (idénticos) marcas. Realmente no importa ", lo que" marca de uso (un trazo vertical, una estrella, un triángulo, un círculo o una carta de cualquier alfabeto son todas opciones aceptables). Voy a usar la letra x. Así que todos estos son ejemplos de números naturales:

xxxxxxx

xx

xxxxxxxxxxx

x

Un nuevo número natural se obtiene a partir de otra mediante la adición de una sola x en el final (el final, delante o hacia atrás, no importa).

Podemos definir una forma de hacer más números de los más pequeños, a través de la concatenación:

xxxx $\oplus$ xxx = xxxxxxx.

En la práctica real de este signo es que a menudo se omite, como se entiende.

Definimos una segunda operación mediante la adopción de "bloques" de marcas (bi-direccional de matrices):

xxxx $\otimes$ xxx =

xxxx

xxxx

xxxx

lo que tratamos de convertir a una cadena de secuencia mediante la imposición de las filas de extremo a extremo.

Se los dejo a ustedes, queridos lectores, a ver si los axiomas de Peano para $\Bbb N - \{0\}$ está satisfecho.

Answer 3

Los números naturales construido en la categoría de $\mathsf{Set}$ (objetos son conjuntos con funciones como las flechas) son un ejemplo de una noción más general: el de los números naturales objeto (NNO) en un "topos" o un cartesiana cerrada categoría). Un topos puede ser pensado como un "universo" para hacer matemáticas, así como la categoría de $\mathsf{Set}$ es utilizado en fundamentos clásica. El nlab artículo he ligado da algunos ejemplos explícitos de NSIN en otros topoi de $\mathsf{Set}$.

Answer 4

Sí, hay construcción de Peanos de ellos que es acctually mi método favorito para construirlas.