¿Cómo podemos demostrar $\pi =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\,$ ?

Question

He visto el bonito resultado que demostró Euler en Wikipedia pero no sé cómo se puede demostrar.

$$\pi =1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} + \cdots $$

Después de los dos primeros términos, los signos se determinan como sigue: Si el denominador es un primo de la forma $4m - 1$ el signo es positivo; si el denominador es un primo de la forma $4m + 1$ El signo es negativo; para los números compuestos, el signo es igual al producto de los signos de sus factores.

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Hay una referencia en esta página de Wikipedia a Carl B. Boyer's Una historia de las matemáticas Capítulo 21., p. 488-489. Encontré el libro en Internet pero no hay pruebas en el libro.

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

1. Queremos calcular $$S=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{s(m)}}{m},$$ donde $s(m)$ cuenta el número de apariciones de primos de la forma $4k+1$ en la descomposición primaria de $m$ . Tenga en cuenta que $$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{s(2n+1)}}{2n+1}+\frac{S}{2}\quad\Longrightarrow \quad \frac{S}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{s(2n+1)}}{2n+1}.\tag{1}$$

2. Pero esta última suma puede escribirse como $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{s(2n+1)}}{2n+1}=\prod_{k=2}^{\infty}\left(1+\dfrac{(-1)^{\frac{p_{{k}}-1}{2}}}{p_{k}} \right )^{-1},\tag{2}$$ donde el producto de la derecha se toma sobre primos Impares. Para mostrar la igualdad, expande cada factor de la derecha en series geométricas y multiplícalas. Además, como muestran las respuestas a esta pregunta este producto es igual a $\pi/2$ . Si se combina con (1), se obtiene $S=\pi$ .