¿Cuando es una función analítica en $L^2(\Bbb R)$?

Question

Supongamos $f:\Bbb R\to\Bbb C$ es real analítica. En orden para$f$$L^2(\Bbb R)$, claramente todos los términos de la potencia de la serie no puede ser positivo desde $f$ divergen en $\pm\infty$. Asimismo, la distribución de los términos negativos no pueden ir a cero, por lo que vemos que el poder de la serie para $f$ debe ser de alterna (de alguna manera). Sin embargo, esto no nos dice mucho.

Tomando $f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n!}x^{2n}$ da $f(x) = \exp(-x^2)$ e en $L^2(\Bbb R)$. En este caso, el coeficiente factorial de la caries, pero no es obvio qué tipo de caries de los coeficientes puede tener al mismo tiempo dando lugar a una $L^2$ función.

Existen suficientes condiciones en el poder de la serie de coeficientes que se asegurará de que la función está en el $L^2(\Bbb R)$? Por ejemplo, hay asintótica de los límites en los coeficientes que se asegurará de que la función está en el $L^2(\Bbb R)$ o se trata de una tarea imposible?

Answer 1

Suponga $f(x)=\sum _{n=0}^\infty a_n x^n$. Poner $c_n=\sum_{m=0}^n a_m a_{n-m}$, por lo que el $f(x)^2=\sum _{n=0}^\infty c_n x^n$. Entonces, invocando primero la Monotonía Teorema de Convergencia, entonces el Tonelli/Teorema de Fubini y, a continuación, la eliminación de fuga términos, vemos que $$ \int f^2 dx=\lim_{k\rightarrow\infty} \int_{-k}^k f^2 dx=\lim_{k\rightarrow \infty} \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n(k^{n+1}-(-k)^{n+1})}{n+1}=\lim_{k\rightarrow \infty} \sum_{n=0}^\infty \frac{2c_{2n}}{2n+1}k^{2n+1}. $$ Por lo tanto, $f\in L^2$ si y sólo si el aumento de la función de $g:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ definido por $$ g(k)=\int_{-k}^k f^2 dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{2c_{2n}}{2n+1}k^{2n+1} $$ satisface $$ g(k)\leq M $$ para algunos $M<\infty$.