Relaciones de recurrencia no homogéneas

Question

Resolver la relación de recurrencia no homogénea

$$h_{n}=3h_{n-1}-2$$
$$n\geq 1$$ $$h_{0}=1$$

Me han dicho que aborde este tipo de problema siguiendo dos pasos. Primero, resolver la relación homogénea correspondiente y luego encontrar una solución particular.

1) relación homogénea correspondiente $$h_{n}=3h_{n-1}$$
x-2=0 x=2 $$h_{n}=c2^{n}$$

2)encontrar un caso particular Aquí es donde estoy luchando- ¿Cómo puedo encontrar este caso particular- Supongo que tengo que usar mi valor inicial en este paso.

Answer 1

He aquí un enfoque. Tenemos

$$ h_{n}=3h_{n-1}-2 $$ $$ h_{n+1}=3h_{n}-2. $$

La última ecuación se deduce de la primera desplazando el índice. Restando las dos ecuaciones se obtiene la relación de recurrencia homogénea

$$ h_{n+1}-4h_n+3h_{n-1}=0. $$

Ahora, creo que puedes resolver la ecuación posterior. En caso de que quieras ir por otro camino encontrando una solución particular, mira aquí .

Answer 2

Podrías reducir el problema a una ecuación diferencial fácil. Considere la función generadora exponencial $$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{h_nx^n}{n!}.$$ La derivada es $$y'=\sum_{n=1}^\infty\frac{nh_nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty\frac{h_nx^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{h_{n+1}x^n}{n!},$$ por lo que la recurrencia $$h_{n+1}=3h_n-2$$ se convierte en la ecuación diferencial lineal de primer orden $$y'=3y-2e^x$$ y el valor inicial $h_o=1$ se convierte en $y(0)=1$ . La solución de este problema de valor inicial es $$y=e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{1x^n}{n!}$$ así que $h_n=1$ .

Answer 3

Consideremos la relación de recurrencia homogénea $h_n-3h_{n-1}=0$ . El polinomio característico es $x-3=0$ Así que $x=3$ es nuestra raíz característica. La solución homogénea es $h_{n_1}=a3^n$ donde $a$ es una constante. Ahora, para nuestra solución particular hacemos la conjetura $h_{n_2}=b$ donde $b$ es una constante. Elegimos una constante porque nuestra relación de recurrencia tiene el término constante $-2$ por lo que la suposición correcta es una constante. Sustituyendo nuestra suposición vemos que $b=3b-2$ y esto nos da $b=1$ . Por lo tanto, la solución particular es $h_{n_2}=1$ . Combinando nuestra solución homogénea y nuestra solución particular vemos que $h_n=h_{n_1}+h_{n_2}=a3^n+1$ . Puesto que se nos da que $h_0=1$ podemos usar esto para encontrar $a=0$ . Así $h_n=1$ es la solución de la relación de recurrencia y podemos comprobarlo sustituyendo $h_n=1$ en la relación de recurrencia.

Este problema puede parecer extraño. Sin embargo, $h_n=1$ es la solución. Si quieres puedes encontrar múltiples valores de $h_n$ para $n=1,2,3,...$ . Es decir $h_0=1$ , $h_1=1$ , $h_2=1$ ,.... Parece que $h_n=1$ es la solución, pero debemos demostrarlo. Así que procederemos por inducción matemática. Supongamos que $h_k=1$ para un número entero positivo arbitrario $k$ . Debemos demostrar que $h_{k+1}=3h_k-2=1$ . Considere $3h_k-2$ por nuestra hipótesis de inducción $h_k=1$ . Así que $3(1)-2=1$ y así $h_{k+1}=3h_k-2=1$ . Así, por el Principio de Inducción Matemática $h_n=3h_{n-1}-2=1$ para todos $n\geq0$ .

Answer 4

Otro enfoque consiste en utilizar funciones generadoras. Sea $$H(s) = \sum_{n=0}^\infty h_ns^n. $$ Multiplicando ambos lados de la recurrencia por $s^n$ y sumando para $n\geqslant 1$ el LHS es $$\sum_{n=1}^\infty h_ns_n = H(s) - 1 $$ y el lado derecho es $$\sum_{n=1}^\infty (3h_{n-1}-2)h^n = 3s\sum_{n=0}^\infty h_ns^n - 2s\sum_{n=0}^\infty s^n = 3sH(s) - \frac{2s}{1-s}. $$ Por lo tanto $$H(s)-1 = 3sH(s) - \frac{2s}{1-s} $$ y $$H(s)(1-3s) = 1 - \frac{2s}{1-s} = \frac{1-3s}{1-s}. $$ Dividiendo por $1-3s$ vemos que $$H(s) = \frac1{1-s}=\sum_{n=0}^\infty s^n, $$ para que $h_n=1$ para todos $n$ .