Demostrando la igualdad Integral de Lebesgue

Question

Me encantaria alguna ayuda con este problema:

Que $(X,\mathcal F,\mu)$ ser un espacio medible y que $f:X\to[0,\infty)$ ser una función integrable de Lebesgue positiva. Demostrar que %#% $ #%

Entiendo por qué esto funciona geométricamente en dos dimensiones pero am no muy seguro cómo mostrarlo formalmente. Creo que sería un buen método Mostrar la igualdad para las funciones de paso y entonces de alguna manera generalizar, pero no sé exactamente cómo hacerlo bien.

Agradeceria cualquier ayuda.

¡Gracias!

Answer 1

Usted puede escribir $$ f(x) = \int_0^{f(x)} \, dt = \int_0^{\infty} 1_{ \{y: f(y)>t \} }(x) \, dt, \tag{1} $$ debido a $1_{ \{y: f(y)>t \} }(x)$ $1$ $t$ $0$ $f(x)$ $0$ lo contrario. Ahora, el uso del teorema de Tonelli, que dice que

Si $f:X \times Y \to [0,\infty)$, luego $$ \int_{X \times Y} f(x,y) \, d\mu(x) \times d\nu(y) = \int_X \left( \int_Y f(x,y) \, d\nu(y) \right) \, d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x,y) \, d\mu(x) \right) \, d\nu(x), $$ en el sentido de que las integrales de todos los que existen tienen el mismo valor, o todos son distintos.

En este caso, tomar $Y=[0,\infty)$, $\nu$ normal de la medida de Lebesgue, y entonces usted tiene $$ \int_X f(x) \, d\mu(x) = \int_X \left( \int_0^{\infty} 1_{ \{y: f(y)>t \} }(x) \, dt \right) \, d\mu(x) \\ = \int_0^{\infty} \left( \int_X 1_{ \{y: f(y)>t \} }(x) \, d\mu(x) \right) \, dt \\ = \int_0^{\infty} \mu\{ y:f(y)>t\} \, dt, $$ utilizando la igualdad (1), a continuación, Tonelli, y por último la definición de la integral de una función característica.

Answer 2

El siguiente más general de la identidad se tiene:

Para $ f \in L^p(X), \quad 0 < p < \infty $ tenemos:

$$ ||f ||_p^p = p \int_0^{\infty} \lambda^{p-1} d_f ( \lambda ) \text{d} \lambda $$

donde $ \displaystyle d_f ( \lambda ) = \mu \left( \{x \in X : | f(x) | > \lambda \} \right) $

Prueba: Usando el teorema de Fubini http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem tenemos:

$ \displaystyle p \int_0^{\infty} \lambda^{p-1} d_f( \lambda) d \lambda = p \int_0^{\infty} \lambda^{p-1} \int_X \chi_{ \{x: |f(x)| > \lambda \} } d \mu (x) d \lambda= \int_X \int_0^{|f(x)|} p \lambda^{p-1} d \lambda d \mu(x)= $

$\displaystyle = \int_X |f(x)|^p d \mu (x)= ||f||_p^p $

Answer 3

Usted puede probar que el integrando de la derecha, permítanme llamarlo $F$, es en realidad una de Riemann integrable función compacto intervalos. Hay varias maneras de probar esto, pero todos ellos de la bisagra en el hecho de que $F$ es monótono.

Como tal, usted puede escribir el lado derecho como $\lim_{n \to \infty} I_n$ donde $I_n$ es una suma de Riemann para la integración de $F \chi_{[0,n]}$. Esta suma de Riemann es la integral de Lebesgue de una simple aproximación de $f$. (Básicamente es la simple aproximación donde el rango de $f$ $[m/n,(m+1)/n]$ es considerado como $m/n$ $m=0,1,\dots,n^2-1$ y el rango de $f$ $[n,\infty)$ es considerado como $n$.) Ahora sólo tiene que demostrar que esta simple aproximación converge en $L^1$.