$\frac{\prod_{i=1}^n (1+x_i)-1}{\prod_{i=1}^n (1+x_i/\delta)-1} \stackrel{\text{?}}{\le} \frac{(1+x_n)^n-1}{(1+x_n/\delta)^n-1} $ .

Question

Que $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$. Que $\delta>1$ ser algunos números reales positivos. Supongo que el $0\le x_i <1$, $i=1,\ldots,n$ y $x_n >0$.

¿Tiene la siguiente expresión?

$$ \frac{\prod_{i=1}^n (1+x_i)-1}{\prod_{i=1}^n (1+x_i/\delta)-1} \stackrel{\text{?}}{\le} \frac{(1+x_n)^n-1}{(1+x_n/\delta)^n-1} $$

Answer 1

Poniendo: $$A=\sum_{i=1}^n\log(1+x_i),\quad A_\delta=\sum_{i=1}^n\log(1+x_i/\delta),$ $ $$B=\sum_{i=1}^n\log(1+x_n),\quad B_\delta=\sum_{i=1}^n\log(1+x_n/\delta),$ $ la desigualdad es equivalente a: $$e^{A+B_\delta}+e^{A_\delta}+e^{B}\leq e^{B+A_\delta}+e^{A}+e^{B_\delta}.$ $ siempre que $A+B_\delta\leq B+A_\delta$, este último sigue de la desigualdad de Karamata.

Tan sólo tenemos que demostrar que: $$ B-A \geq B_\delta-A_\delta, \tag{1}$ $ es decir %#% $ de #% esto es bastante trivial desde cualquier $$ \sum_{i=1}^n\log\left(\frac{1+x_n}{1+x_i}\right)\geq \sum_{i=1}^n\log\left(\frac{\delta+x_n}{\delta+x_i}\right).\tag{2}$ el $1>C>D>0$ de la función es positiva y decreciente en $f(x)=\log\left(\frac{x+C}{x+D}\right)$ como su derivado es $\mathbb{R}^+$, $\frac{D-C}{(x+C)(x+D)}<0$ y $f(0)>0$