¿Por qué tengo que transponer los coeficientes de un sistema de transformaciones lineales para obtener su formulario de matriz?

Question

He estado leyendo un libro sobre álgebra lineal que es muy popular en mi país y en el capítulo sobre la matriz de una transformación lineal dice lo siguiente:

$``$ $\ U\ $ $\ V\ $ Dos espacios vectoriales,$\ {\rm I\!R} \ $, de dimensiones $n$$m$, respectivamente. Considere la posibilidad de la transformación lineal $\ F:U \rightarrow V \ $. La base de $\ B=\{u_1, ...,u_n\}\ $ $\ U \ $ y la base de la $\ C = \{v_1,...,v_m\} \ $$\ V \ $ , por lo tanto cada uno de los vectores $\ F(u_1),...,F(u_n)\ $$\ V \ $, y por consiguiente son combinaciones lineales de las bases de la $\ C \ $:

$$F(u_1) = \alpha_{11}v_1 + \alpha_{21}v_2 + ... + \alpha_{m1}v_m$$ $$F(u_2) = \alpha_{12}v_1 + \alpha_{22}v_2 + ... + \alpha_{m2}v_m$$ $$\vdots$$ $$F(u_n) = \alpha_{1n}v_1 + \alpha_{2n}v_2 + ... + \alpha_{mn}v_m$$

$Definition \ \ 4$ - Una matriz de $\ m\times n \ $$\ {\rm I\!R} \ $. $$ \qquad \quad \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \dots & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \dots & \alpha_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \dots & \alpha_{mn} \end{pmatrix}=(\alpha_{ij})$$ que se obtiene a partir de las consideraciones anteriores se denomina matriz de $F$ en relación a la base $B$ y $C$ . $"$

Así que ¿por qué es la transpuesta de la matriz de los coeficientes de las relaciones lineales en lugar de la habitual de la matriz ?

Answer 1

Que $M$ sea la matriz de $F$. Para representar el $u_1$ en el % de base $B$, utilizamos el vector $e_1 = \begin{bmatrix}1\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix}$. Asimismo representamos a $u_i$ $n$-base estándar dimensional vector $e_i$ (todos los ceros excepto '$1$' en la entrada de th de $i$). Además, representamos a $v_i$ $m$-base estándar dimensional vector $e_i$.

Por lo tanto, la ecuación $$F(u_1) = \alpha_{11} v_1 + \cdots + \alpha_{m1} v_m$ $ se convierte en $$M \begin{bmatrix}1\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha_{11}\\ \alpha_{21}\\ \vdots\\ \alpha_{m1}\end{bmatrix}.$ $

Desde aquí, es claro que la primera columna de $M$ $\begin{bmatrix}\alpha_{11}\\ \alpha_{21}\\ \vdots\\ \alpha_{m1}\end{bmatrix}$. Las otras columnas pueden determinarse de manera similar.

Answer 2

un típico vector en $U$ tiene la forma: $$ x = x_1u_1 + x_2u_2 + \dots + x_nu_n $$ así $$ F(x_1u_1) = x_1(\alpha_{11}v_1 + \alpha_{21}v_2 + ... + \alpha_{m1}v_m) \\ F(x_2u_2) = x_2(\alpha_{12}v_1 + \alpha_{22}v_2 + ... + \alpha_{m2}v_m) \\ \vdots \\ F(x_nu_n) = x_n(\alpha_{1n}v_1 + \alpha_{2n}v_2 + ... + \alpha_{mn}v_m) $$ añadir estos juntos para la obtención de $F(x)$, y reagrupar los términos por los vectores de la base de $V$, dando: $$ F(x) = (\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2+ \dots + \alpha_{1n} x_n)v_1 + \dots $$

Answer 3

Puede representar que la transformación de cualquier manera, con o sin transposición. Todo depende de si usted quiere multiplicar la matriz por un vector fila de la izquierda, o por un vector columna de la derecha. Cada autor elige un Convenio u otro. Es bueno reconocer que es sólo una Convención y no una necesidad matemática.