El grupo de Picard de variedad proyectiva

Question

¿Si $X$ es una variedad proyectiva irreducible lisa y su grupo de Picard es $0$, podemos concluir que el $X$ es un punto? (Por ejemplo, cuando $X=\mathbb P^n$, entonces Pic($\mathbb P^n$) = $\mathbb Z$ si $n=0$)

Answer 1

Esto parece ser verdad...

Dada una variedad proyectiva $X$, considerar la invertible gavilla $\varphi^*(\mathcal O(1)),$ donde $\varphi: X\to\Bbb P^n$ es el cierre de inmersión dada por la definición de la proyectiva, y la $\mathcal O=\mathcal O_{\Bbb P^n}$. Por hipótesis, se debe tener $\varphi^*(\mathcal O(1))\cong\mathcal O_X,$, por lo que sabemos que la estructura de la gavilla de $X$ es generado por el mundial de secciones $\varphi^*(x_i), i=0,1,\ldots,n.$ sin Embargo, por $X$ proyectiva, tenemos $\Gamma(X,\mathcal O_X)\cong k,$, lo que implica que todas las $\varphi^*(x_i)$ son constantes. Por el equivalente a la formulación de los morfismos $\varphi:X\to\Bbb P^n$ como una línea de paquete generado por el mundial de secciones (cf. Hartshorne Teorema II.7.1 por ejemplo), podemos ver que $\varphi$ hecho debe ser una constante mapa. Por lo tanto, $X$ es un punto.