$H^1$ con valores en $\mathbb Q/\mathbb Z$

Question

Dado un campo $k$, ¿cómo tengo que pensar sobre la cohomología de Galois grupo $H^1(k,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$? Sé que este es el grupo de continuos homomorphisms de $\Gamma_k$ $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ pero me gustaría verlo en un hormigón más cierto todavía...

EDIT: También, si $K$ es una extensión de $k$, que son los elementos de $H^1(k,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ $0$ $H^1(K,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ vía el mapa de restricción que? ¿Hay una manera concreta de mirar estos?

Answer 1

Más concreto aún? Depende del campo de $k$. En primer lugar, desde $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ es abelian, cualquier continua homomorphism de $\Gamma_k$ $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$factores a través de la topológico abelianization $\Gamma_k^{ab}$ (máximo de Hausdorff abelian cociente de $\Gamma_k$), por lo $H^1(k,\mathbf{Q}/\mathbf{Z})=\mathrm{Hom}_{cts}(\Gamma_k^{ab},\mathbf{Q}/\mathbf{Z})$ es el Pontryagin doble de $\Gamma_k^{ab}$, y es por lo tanto una discreta de torsión abelian grupo. Pero esto puede ser bastante complicado. Si $k$ es un campo finito, a continuación, $\Gamma_k^{ab}=\Gamma_k=\hat{\mathbf{Z}}$ con el Frobenius automorphism $x\mapsto x^{\# k}$ generando una densa subgrupo de $\Gamma_k$. En este caso, $\mathrm{Hom}_{cts}(\hat{\mathbf{Z}},\mathbf{Q}/\mathbf{Z})=\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ a través del mapa de enviar un homomorphism a su imagen en Frobenius. Si $k$ es un local o global de campo, a continuación, $\Gamma_k^{ab}$ es descrita por el campo de clase de teoría, pero no estoy seguro de que esto le da un "concreto" descripción de su Pontryagin dual. Al $k=\mathbf{Q}_p$ $p$ impar el abelianization de $\Gamma_k$ es el profinite finalización de $\mathbf{Q}_p^\times$, que es isomorfo a $\mathbf{Z}_p\times\mu_{p-1}\times\mathbf{Z}$, así, completar da $\mathbf{Z}_p\times\mu_{p-1}\times\hat{\mathbf{Z}}$, y, a continuación, el dual es isomorfo a $\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p\times\mu_{p-1}\times\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$. Esto se puede generalizar a lo finito extensiones de $\mathbf{Q}_p$ (usted puede obtener copias adicionales de $\mathbf{Z}_p$). Probablemente, otro usuario más inteligente que puedo detalles sobre esto en el caso de global de campos (o señalar cualquier descuidos o errores de mi parte). (Esto no es realmente una respuesta, pero era demasiado largo para un comentario.)

EDITAR (añadida para responder a la segunda pregunta):

El mapa de restricción $H^1(k,\mathbf{Q}/\mathbf{Z})\rightarrow H^1(K,\mathbf{Q}/\mathbf{Z})$ sólo envía un homomorphism $G_k\rightarrow\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ a su restricción a $G_K$, por lo que un homomorphism está en el núcleo si su restricción para el segundo subgrupo es cero. Al $K$ es de Galois, este kernel, por tanto, consiste en la continua homomorphism $G_k\rightarrow\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ que factor a través de$\mathrm{Gal}(K/k)$,$\mathrm{Hom}_{cts}(\mathrm{Gal}(K/k),\mathbf{Q}/\mathbf{Z})=H^1(K/k,\mathbf{Q}/\mathbf{Z})$. Este es el de la inflación-la restricción de la secuencia de $K/k$.