¿Por qué son tan especiales formas cuadráticas y ¿por qué no investigar en formas más altas?

Question

Ok, este es un soft que se trate.

Si $K$ es un campo de características diferentes de $2$, se puede utilizar la polarización de identidad para obtener una correspondencia uno a uno entre

• homogénea polinomios de grado $2$ $K[X_1,...X_n]$ variables
• simétrica formas bilineales $K^n\times K^n\to K$,
• simétrica $n\times n$-matrices con $K$-entradas.

La formas cuadráticas son ampliamente estudiado. Por qué no estudiar 'las formas cúbicas' o, más en general '$n$-formas' en la misma intensidad? Tal vez uno llega a una correspondencia de las formas cúbicas con $3$-dimensional $n\times n\times n$-matrices. Es sólo que no se han investigado tanto como la formas cuadráticas sólo porque estos 'más dimensiones de las matrices' son más difíciles de manejar?

Answer 1

El trabajo reciente de Bhargava y sus colaboradores (entre otras cosas) pretende estudiar formas superiores del grado, matrices dimensionales más altos y así sucesivamente. Usted podría estar interesado en mirarlo, si sólo para obtener una idea de lo que están haciendo. (Si busca Manjul Bhargava en arxiv, encontrará un montón de papeles).

Answer 2

Porque cuadrática nada generalmente es más fácil que la misma cosa con más energías.

Ver reciprocidad cuadrática en comparación con reciprocidad de orden superior.

Como un ejemplo más elemental, mira las ecuaciones cuadráticas.

Un ejemplo menos elemental, por qué el teorema pasado de Fermat.

Por supuesto, esta respuesta puede reflejar mi ignorancia matemática. Como el refrán, a mi familia, soy un matemático, pero yo no soy un matemático, matemático.