Cómo saber si mi distribución de datos es simétrica

Question

Sé que si la mediana y la media son aproximadamente iguales, esto significa que hay una distribución simétrica, pero en este caso en particular no estoy seguro. La media y la mediana están bastante cerca (sólo 0,487m/galón de diferencia) lo que me llevaría a decir que hay una distribución simétrica pero mirando el diagrama de caja, parece que está ligeramente sesgada de forma positiva (la mediana está más cerca de Q1 que de Q3 como confirman los valores).

Estoy usando Minitab si tiene algún consejo específico para esta pieza de software.

Answer 1

Sin duda te han dicho lo contrario, pero significa $=$ La mediana sí no implican simetría.

Existe una medida de asimetría basada en la media menos la mediana (la segunda asimetría de Pearson), pero puede ser 0 cuando la distribución no es simétrica (como cualquiera de las medidas de asimetría comunes).

Del mismo modo, la relación entre la media y la mediana no implica necesariamente una relación similar entre la mediana ( $(Q_1+Q_3)/2$ ) y la mediana. Pueden sugerir asimetrías opuestas, o una puede ser igual a la mediana mientras que la otra no.

Una forma de investigar la simetría es a través de un gráfico de simetría *.

Si $Y_{(1)}, Y_{(2)}, ..., Y_{(n)}$ son las observaciones ordenadas de menor a mayor (las estadísticas de orden), y $M$ es la mediana, entonces un gráfico de simetría traza $Y_{(n)}-M$ vs $M-Y_{(1)}$ , $Y_{(n-1)}-M$ vs $M-Y_{(2)}$ ... y así sucesivamente.

* Minitab puede hacerlo . De hecho, planteo este gráfico como una posibilidad porque los he visto hacer en Minitab.

He aquí cuatro ejemplos:

$\hspace{6cm} \textbf{Symmetry plots}$

(Las distribuciones reales fueron (de izquierda a derecha, primero la fila superior) - Laplace, Gamma(forma=0,8), beta(2,2) y beta(5,2). El código es de Ross Ihaka, de aquí )

En los ejemplos simétricos de cola pesada, suele ocurrir que los puntos más extremos pueden estar muy alejados de la recta; se prestaría menos atención a la distancia a la recta de uno o dos puntos a medida que se acerca a la parte superior derecha de la figura.

Hay, por supuesto, otros gráficos (mencioné el gráfico de simetría no por un sentido particular de defensa de ese, sino porque sabía que ya estaba implementado en Minitab). Así que vamos a explorar algunos otros.

Aquí están los correspondientes gráficos asimétricos que Nick Cox sugirió en los comentarios:

$\hspace{6cm} \textbf{Skewness plots}$

En estos gráficos, una tendencia al alza indicaría una cola derecha típicamente más pesada que la izquierda y una tendencia a la baja indicaría una cola izquierda típicamente más pesada que la derecha, mientras que la simetría sería sugerida por un gráfico relativamente plano (aunque quizás bastante ruidoso).

Nick sugiere que esta trama es mejor (concretamente "más directa"). Me inclino a estar de acuerdo; la interpretación del gráfico parece, en consecuencia, un poco más fácil, aunque la información de los gráficos correspondientes suele ser bastante similar (después de restar la pendiente unitaria en el primer conjunto, se obtiene algo muy parecido al segundo conjunto).

Por supuesto, ninguna de estas cosas nos dirá que la distribución de la que se han extraído los datos es realmente simétrica; obtenemos una indicación de lo cercana a la simetría que es la muestra y, por tanto, hasta ese punto podemos juzgar si los datos son razonablemente consistentes con la extracción de una población casi simétrica].

Answer 2

Lo más sencillo es calcular la muestra asimetría . Hay una función en Minitab para eso. Las distribuciones simétricas tendrán cero asimetría. La asimetría cero no significa necesariamente que sea simétrica, pero en la mayoría de los casos prácticos lo sería.

Como señaló @NickCox, hay más de una definición de asimetría. Yo uso la que es compatible con Excel pero puede utilizar cualquier otro.

Answer 3

Centra tus datos alrededor de cero restando la media de la muestra. Ahora divide tus datos en dos partes, la negativa y la positiva. Toma el valor absoluto de los puntos de datos negativos. Ahora haz una prueba de Kolmogorov-Smirnov de dos muestras comparando las dos particiones entre sí. Haz tu conclusión basándote en el valor p.

Answer 4

Pon tus observaciones ordenadas en valores crecientes en una columna, y luego ponlas ordenadas en valores decrecientes en otra columna.
A continuación, calcula el coeficiente de correlación (llámalo Rm) entre estas dos columnas.
Calcular el índice quiral: CHI=(1+Rm)/2.
CHI toma valores en el intervalo [0..1].
El CHI es nulo SI y SÓLO SI su muestra está distribuida simétricamente.
No es necesario el tercer momento.
Teoría:
http://petitjeanmichel.free.fr/itoweb.petitjean.skewness.html
http://petitjeanmichel.free.fr/itoweb.petitjean.html
(la mayoría de los artículos citados en estas dos páginas se pueden descargar allí en pdf)
Espero que sea de ayuda, incluso últimamente.