desigualdad algebraica que muestra con aritmética y armónica significa

Question

Que x, y, z sea positivo números verdaderos. Demostrar que %#% $ #%

Este problema parece ser simple, pero con más trabajo y un montón de intentos fallidos, estoy atrapado. He probado usando aritmética y armónica significa (que estoy seguro son la clave) para mostrar que existe un número que es ajustes entre estos dos, demostrando así la desigualdad. También he intentado multiplicar hacia fuera y la simplificación y obtenidos:

$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \ge \frac{3}{2}$ $ Realmente no parece que ayude a esto. ¡Cualquier orientación se aprecia grandemente!

Answer 1

Que $s = x+y+z$. La función $$f:t \mapsto \frac{t}{s-t}$$ for $t \in [0, s) $ is convex. Therefore $% $ $\frac{f(x) + f(y) + f(z)}{3} \geq f\left( \frac{s}{3}\right)$y el segundo es exactamente la desigualdad.

Answer 2

$$A=\dfrac a{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$$ $$B= \dfrac b{b+c}+ \dfrac{c}{c+a}+\dfrac{a}{a+b}$$ $$C=\dfrac c{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+a}$$

Por la desigualdad A-G

$$A+B=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+c}+\dfrac{c+a}{b+a}\ge 3$$ $$A+C=\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{a+c}+\dfrac{b+c}{b+a}\ge3$$

modo + % $ $$(A+B)+(A+C)\ge6$

$B+C=3$, obtenemos $2A\ge3$, sí