Compacidad de las circunvoluciones de medidas compactas

Question

Esto se refiere a las medidas en $d$-dimensional espacio Euclidiano $\mathbb R^d$ y sus densidades.
Un super-conjunto de nivel de una densidad de $f : \mathbb R^d \to \mathbb R^+$ en el nivel $t$ es el conjunto $\{x \in \mathbb R^d \mid f(x) \geq t\}$.
Decir una densidad de super-compacto si para cada a $t>0$ el super-levelset en el nivel $t$ $f$ es compacto.

Dadas dos super-compacto densidades $f,g$, es la convolución $f*g$ también super-compacto?

Más específicamente, estoy interesado en el caso de que uno de los dos super-compacto densidades $g$ es un núcleo Gaussiano, y el otro $f$ puede tener compacto de apoyo, que es incluso para $t=0$ el super-levelset de $f$ es compacto. Pero tengo la esperanza de que hay un más general conocido resultado acerca de la preservación de la compacidad en las circunvoluciones.
Si esto no es cierto, entonces, ¿qué propiedades no $f$ que $f*g$ es súper compacto?

Answer 1

Si $f$ $g$ son tanto integrable y cuadrado integrable, y $f$ es súper compacto y $f*g$ es continuo, $f*g$ es súper compacto. (Esto cubre su caso específico, al menos si el compacto respaldado $f$ es continua.) Nota no necesitamos ni $f$ $g$ a ser no negativo.

Tenemos que demostrar que el $t$a nivel de los conjuntos cerrados y acotados. Primero, cerrado es fácil: el $t$-nivel de juego es la imagen inversa del intervalo cerrado $[t,\infty)$ bajo el mapa de $f*g\colon \mathbb R^d\to\mathbb R$, y por lo tanto se cierra automáticamente (por la definición topológica de la continuidad).

Como para delimitada: dado $\varepsilon>0$, elija $R=R(\varepsilon)$ tan grande que $|f(x)|<\varepsilon$ $|x|>R$ (por el super-compacto) y que la integral de $|g(x)|^2$ sobre el complemento de la bola de radio $R$ es de menos de $\varepsilon$ (por square-integrabilidad). A continuación, para $|x|>2R$, $$ (f*g)(x) = \int_{\mathbb R^d} f(y)g(x-y) \,dy = \int_{|y|\le R} f(y)g(x-y) \,dy + \int_{|y|> R} f(y)g(x-y) \,dy. $$ En la primera integral, el uso de Cauchy-Schwarz: \begin{align*} \bigg| \int_{|y|\le R} f(y)g(x-y) \,dy \bigg| &\le \bigg( \int_{|y|\le R} |f(y)|^2 \,dy \bigg)^{1/2} \bigg( \int_{|y|\le R} |g(x-y)|^2 \,dy \bigg)^{1/2} \\ &\le \bigg( \int_{|y|\le R} |f(y)|^2 \,dy \bigg)^{1/2} \bigg( \int_{|z|> R} |g(z)|^2 \,dy \bigg)^{1/2} < \|f\|_2 \varepsilon^{1/2}. \end{align*} (Aquí hemos utilizado el hecho de que $|x|>2R$ $|y|\le R$ implican $|z|>R$ en el cambio de las variables de $z=x-y$.) Para la segunda integral, $$ \bigg| \int_{|y|> R} f(y)g(x-y) \,dy \bigg| < \varepsilon \int_{|y|> R} |g(x-y)| \,dy \le \|g\|_1 \varepsilon. $$ Por lo tanto $|(f*g)(x)|$ está delimitado por $\|f\|_2 \varepsilon^{1/2} + \|g\|_1 \varepsilon$ todos los $|x|>2R(\varepsilon)$. En otras palabras, el $t$a nivel de conjunto es acotado para todos los $t \ge \|f\|_2 \varepsilon^{1/2} + \|g\|_1 \varepsilon$, ya que el $\varepsilon$ puede ser tomado arbitrariamente pequeño, por lo que puede a $t$.