Prueba de que $\mathbb Z[\sqrt{3}]$ es un dominio euclidiano

Question

Dejemos que $R_d$ sea el anillo definido como $R_d=\left \{ x+y\omega : x,y\in \mathbb{Z} \right\}$ , donde $$\omega = \begin{cases} \sqrt{d}, & \text{if } \quad d \not \equiv 1\mod 4 \\ \frac{1+\sqrt{d}}{2}, & \text{if } \quad d\equiv 1\mod 4. \end{cases}$$

Se ha demostrado que $R_d$ es euclidiano para varios valores positivos de $d$ .

¿Sabe alguien dónde puedo encontrar una prueba de que $R_d$ es euclidiano para $d=3$ ?

Gracias.

Answer 1

Definir la norma sobre $\mathbb Z[\sqrt 3]$ para ser $N(a + b \sqrt 3) = \vert a^2 - 3 b^2 \vert$ .

Dejemos que $\alpha, \beta \in \mathbb Z[\sqrt 3]$ con $\beta \neq 0$ .

Diga $\alpha = a + b \sqrt 3$ y $\beta = c + d \sqrt 3$ .

Observe que \begin{align*} \frac\alpha\beta &= \frac{a + b \sqrt 3}{c + d \sqrt 3} \cdot \frac{c - d \sqrt 3}{c - d \sqrt 3} \\ &= \frac{ac - 3bd}{c^2 - 3d^2} + \frac{-ad + bc}{c^2 - 3d^2} \sqrt 3 \\ &= r + s\sqrt 3 \end{align*}

donde $r = \displaystyle \frac{ac - 3bd}{c^2 - 3d^2}$ y $s = \displaystyle \frac{-ad + bc}{c^2 - 3d^2}$ .

Dejemos que $p$ sea el número entero más cercano a $r$ y que $q$ sea el número entero más cercano a $s$ . Observe que $\vert r - p \vert \leq 1/2$ y $\vert s - q \vert \leq 1/2$ .

Queremos demostrar que $\alpha = (p + q\sqrt 3) \beta + \gamma$ para algunos $\gamma \in \mathbb Z[\sqrt 3]$ de manera que $\gamma = 0$ o $N(\gamma) < N(\beta)$ . (Demostraremos que esto último se mantiene siempre).

Definir $\theta := (r - p) + (s - q)\sqrt 3$ y definir $\gamma = \beta \cdot \theta \in \mathbb Z[\sqrt 3]$ y observar que \begin{align*} \gamma &= \beta \cdot \theta\\ &= \beta ( (r - p) + (s - q)\sqrt 3)\\ &= \beta (r + s\sqrt 3) - \beta(p + q\sqrt 3) \\ &= \beta \cdot\frac\alpha\beta - \beta (p + q\sqrt 3) \\ &= \alpha - \beta (p + q\sqrt 3) \end{align*}

Por lo tanto, tenemos $\alpha = \beta(p + q\sqrt 3) + \gamma$ .

Por último, observe que \begin{align*} N(\gamma) &= N(\beta \cdot \theta) \\ &= N(\beta) \cdot N(\theta) \\ &= N(\beta) \cdot \vert (r - p)^2 - 3 (s - q)^2 \vert \\ &\leq N(\beta) \cdot \max\{ (r - p)^2, 3(s - q)^2\} \\ & \leq\frac34 N(\beta)\\ &< N(\beta) \end{align*}

La clave aquí fue que $\vert (r - p)^2 - 3 (s - q)^2 \vert \leq \max\{ (r - p)^2, 3(s - q)^2\}$ desde $(r - p)^2, 3(s - q)^2 \geq 0$ y luego usamos eso $(r - p)^2 \leq 1/4$ y $3(s - q)^2 \leq 3/4$ .