Es posible el estudio de las funciones de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$común de cálculo ? Obviamente, con la limitación de que $\mathbb{Q}$ no es completa. Mucho menos límites, derivadas e integrales existen; pero ¿tiene sentido una tangente $\mathbb{Q^2}$ ?
Respuestas
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Shery
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Podría tener algún sentido, pero será muy patológico. $\bf Q$ no es una variedad diferenciable, por lo que la diferenciación en el sentido usual de la palabra, no tiene mucho sentido, además, no es trivial medida continua en $\bf Q$ (debido a $\bf Q$ es contable), así que la integral de Lebesgue será bastante inútil en el estudio.
Si supuesto, usted todavía puede calcular límites, derivadas y las integrales de Riemann como si estuviera trabajando en $\bf R$. Después de todo, los límites de sentido en cualquier espacio topológico, incluyendo la $\bf Q$, y todos estos objetos se definen como los límites, así que en el peor de los casos, puede que simplemente no existen, lo que puede conducir a la vez patológico ejemplos.
Por ejemplo, la función de $1/x$ todavía será continua, excepto en $0$, pero va a ser muy no integrable (como el logaritmo de un número racional positivo distinto de $1$ es irracional). No es difícil imaginar una función de $f:{\bf Q}\to{\bf Q}$ y tres números racionales $a<b<c$ de manera tal que la "integral" de $a$ $c$está bien definido, pero no de $a$ $b$(debido a que la integral de $a$ $b$converge a un número irracional, pero de $a$ $c$a un racional).
Anthony Cramp
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Mhenni Benghorbal
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Añadir a los comentarios anteriores y apreciar la idea de completar espacios, uno puede ver que el teorema del valor intermedio, el cual tiene en reales, no mantiene racionales. Por ejemplo,
$$ f(x) = \begin{cases} -1 & \mbox{if } x^2 < 2 \\ 1 & otherwise. \end{casos} \,.$$
$f(x)$ es continua con $f(0)=-1,$ $ f(2)=1 ,$ sin embargo, no existe un $c$ $f(c)=0.$
