Calcular el Límite de $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\cos^5{x} + ax + b}{x^2}$

Question

Estoy estudiando para un examen de ingreso y quisiera que alguien confirme mi respuesta o señalar los errores que cometí. Las respuestas son muy apreciadas!

Hallar a y b para que la siguiente Límite existe. $$ L = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos^5{x} + ax + b}{x^2} $$

Mi enfoque de solución estaba usando la regla de l'Hôpital así que me puse a 0 y b a -1. -1 cancela el 1 de cos 0, así que conseguir 0/0 entonces puedo usar la regla de l'Hôpital. Tener un = 0 se puede utilizar de nuevo.

Es este enfoque de derecho?

Answer 1

Su enfoque es correcto. Desde $\lim_{x\rightarrow 0}\left( \cos ^{5}x+ax+b\right) =1+b$, for the limit $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos ^{5}x+ax+b}{x^{2}}$$ to exist, $1+b$ must be $0$, which means $b=-1$. Y ya que $$\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{d}{dx}\left( \cos ^{5}x+ax-1\right) \right) =a,$$ for L to exist, $$ must be $0$. El límite es

$$ L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{d}{dx}\left( \cos ^{5}x-1\right) }{\frac{d }{dx}\left( x^{2}\right) }=\lim_{x\rightarrow 0}-\frac{5}{2}\left( \cos ^{4}x\right) \frac{\sin x}{x}=-\frac{5}{2}. $$

Answer 2

Si usted puede utilizar la serie de Maclaurin para $\cos(x)=1-\frac{1}{2}x^2+O(x^4)$, a continuación, intente utilizar el teorema del binomio para obtener los dos primeros no-cero términos de $\cos^5(x)$.

Answer 3

Su enfoque es correcto, sin embargo, en un examen, yo iba a razón de la siguiente manera. El problema en el límite de la $x^2$ en el denominador. Como usted puede factor de la fracción que todo está bien. Así que trate de escribir $$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$ y usted puede ver fácilmente que $$\cos^5(x)=1+p(x)$$ donde $p(x)$ es un infinito convergen suma de monomials de grado, al menos,$2$. Habiendo notado esto, no hay ninguna manera para que el límite existe, a menos que $a=0$$b=-1$. Esta parte de la reasinonig muestra que, si desea que su límite existe, entonces, necesariamente $a=0,\: b=-1$. Por otro lado, si $a=0,\: b=-1$, luego de una evaluación simple muestra que $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^5(x)-1}{x^2}=\lim_{x\to 0}-\frac{5\cos^4(x)\sin(x)}{2x}=\lim_{x\to 0}-\frac{5\cos^4(x)}{2}\cdot\frac{\sin(x)}{x}=-\frac{5}{2}.$$ Espero que todo está claro.

Answer 4

SUGERENCIA $\ $ Si como $\rm\ x\to 0:\: $ $\rm\ f(x)\to f_0,\ \ f{\:\:'}(x)\to f_1,\ \ f(x)/x^2\to f_2\ $ para $\rm\:f_i \in\mathbb R\ $ $\rm\ f_0 = 0 = f_1\:.$

Prueba de $\ $ Si $\rm\ f_0\ne 0\ $ $\rm\:f(x)/x^2\to\: f_0/0^+ = \infty\not\in\mathbb R\:.\:$ $\rm\:f_0 = 0\:.\:$ Similarmente $\rm\:f_1 = 0\:,\:\: $ más

$$\rm f_1 \ne 0\:\ \ \Rightarrow\ \ f_2\: =\ \lim_{x\:\to\: 0}\ \frac{f(x)}{x^2}\ =\ \lim_{x\: \to\: 0}\ \frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}}{x}\ \to\ \frac{f_1}{0}\ =\ \pm \infty\ \not\in\: \mathbb R$$ $\ $
Así, por $\rm\ f(x)\: =\: cos^5(x)+a\:x+b\:,\ \ f(0) = 0\:\Rightarrow\: b=-1\:,\:$ $\rm\ f{\:\:'}(x)\: =\: -5\ cos^4(x)\ sin(x)+a\ $ por lo tanto $\rm\: f{\:\:'}(0) = 0\:\Rightarrow\:a = 0\:.$

COMENTARIO $\ $ Si usted sabe acerca de la serie de Taylor , a continuación, debe quedar claro que las cantidades anteriores para el cálculo de una serie de Taylor approximant.

Answer 5

Algo sin l'Hospital. Está claro que $b=-1$ como se mencionó anteriormente.

$$ L = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos^5{x} + ax -1}{x^2}=\lim_{x \to 0}\left( \frac{\cos^5 x-1}{x^2}+\frac{a}{x} \right)$$

Pero

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^5 x-1}{x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-1}{x^2}(1+\cos x+...+\cos^4 x)=\frac{5}{4} \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}^2}=-\frac{5}{2}$$

Por lo tanto, si $a \neq 0$ el límite no existe.