La cardinalidad de una unión contable de conjuntos con cardialidad menor que el continuo

Question

¿Puede el continuo ser una unión contable de conjuntos con cardinalidad, menor que el continuo? Puedo demostrarlo para una unión finita por inducción matemática de esto:

$\mathbb R = A_1 + A_2 => |\mathbb R| = |A_1 + A_2| = max (|A_1| + |A_2|) => |A_i| = |\mathbb R|$

¿Pero cómo probarlo para una unión contable?

Answer 1

Suponiendo que el Axioma de Elección, la línea real no puede ser una unión de countably muchos conjuntos de cada uno de tamaño menor de continuo. Para probar esto, uno necesita saber que el proceso ha cofinality estrictamente mayor que $\omega$. (El cofinality de un límite ordinal $\delta$ es el menos cardinalidad de un conjunto $X$ de los ordinales estrictamente menor que $\delta$ tal que $\delta = \sup (X)$.)

Esto se resuelve a lo que usted pregunta, porque si $\{ A_n : n \in \omega \}$ es una familia de subconjuntos de a $\mathbb{R}$ cada uno con el tamaño de la estrictamente menor que $2^{\omega}$, a continuación, configuración de $\kappa = \sup \{ |A_n| : n \in \omega \}$ tenemos que $\kappa < 2^\omega$. A continuación, se deduce que $$| \textstyle{\bigcup_{n < \omega}} A_n | \leq \sum_{n < \omega} | A_n | \leq \sum_{n < \omega} \kappa = \omega \cdot \kappa = \max \{ \omega , \kappa \} < 2^{\omega},$$ and therefore $\bigcup_{n < \omega} A_n$ cannot equal all of $\mathbb{R}$.

Sin el Axioma de Elección, es posible que la continuidad es un contable de la unión de conjuntos contables. (Tenga en cuenta que esto no contradice el hecho bien conocido (comprobable sin Elección) que $\mathbb{R}$ es incontable porque en tales modelos contables de los sindicatos de conjuntos contables no necesita ser contable.)

Answer 2

Para agregar a lo que dijo Arthur, una manera de mostrar que (suponiendo AC) que $2^{\aleph_0}$ tiene innumerables cofinality es utilizar el teorema de König

( http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nig%27s_theorem_%28set_theory%29, )

que es una generalización del teorema de Cantor. Una instancia de König del teorema dice que, dado un contable de la secuencia de conjuntos de $(A_i : i<\omega)$ tal que $|A_i|<|\mathbb{R}|$ todos los $i$, tenemos

$\sum_{i<\omega} |A_i| < \prod_{i<\omega} |\mathbb{R}|$.

El lado derecho es igual a $|\mathbb{R}|$ porque contables secuencias de reales pueden ser codificados por reales.

Answer 3

Como señaló otros, asumiendo el axioma de elección, esto es falso.

Sin embargo, hay varios casos interesantes cuando el axioma de elección se produce un error:

1. Los números reales pueden ser un contable de los sindicatos de conjuntos contables.
2. Los números reales pueden ser la unión de dos conjuntos tanto de cardinalidad estrictamente menor que el continuum, además de al menos uno de estos conjuntos se pueden dividir en dos conjuntos más pequeños, por lo que incluso podemos dividir el continuo en tres conjuntos de menor cardinalidad; y así sucesivamente.