Desigualdad para la transformada de Fourier de la medida

Question

Estoy teniendo problemas con la siguiente pregunta.

Sea$\mu$ medida finita en$\mathbb{R}$ y sea$\hat{\mu}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty e^{-ix \xi} d\mu(x)$ su transformada de Fourier. Pruebalo

ps

Answer 1

Utilizamos el siguiente resultado, que es una consecuencia del teorema de Fubini:$$\mu(\{x\})=\lim_{T\to +\infty}\frac 1{2T}\int_{-T}^Te^{-itx}\widehat\mu(t)dt.$ $ Elegimos$T_n\uparrow+\infty$ tal que$$\left|\mu(\{x\})-\frac 1{2T_n}\int_{-T_n}^{T_n}e^{-itx}\widehat\mu(t)dt\right|\leq \frac 1n.$ $ Podemos asumir$T_n\geq n^2$. Eliminando$[-n,n]$, y usando el teorema del valor intermedio ($\widehat \mu$ es continuo), podemos escribir$$\mu(\{x\})=\frac{\widehat\mu(s_n)+\widehat\mu(t_n)}2,$ $ donde$s_n\to +\infty$ y$t_n\to -\infty$. Esto da el resultado.