Atrapado en la red

Question

Estoy leyendo algunas notas de una localmente convexo espacios ("cl" a partir de ahora), el análisis y la siguiente versión de la Banach-Steinhaus teorema se da

Teorema (de Banach-Steinhaus) $\quad$ El pointwise límite de una secuencia de continuo, lineal asignaciones de un cañón de la lcs $U$ a un lcs $V$ es de nuevo un continuo, lineal de asignación.

seguido por el comentario

Si reemplazamos la "secuencia" con "net" este no es el caso: Para un discontinua funcional $f:U\rightarrow \mathbb{K}$ podemos construir para cada subespacio $W\subseteq U$ un continuo lineal, funcional $F_W$ tal que $f\big|_W=F_W\big|_W$.

Puede alguien explicar, o darme una pista de cómo hacer esto de la construcción de la última frase de arriba explícito ?

Tampoco estoy seguro de cómo utilizar esto para obtener un contraejemplo al teorema anterior ? De alguna manera yo no puedo pensar en una manera de hacer uso de un punto de discontinuidad en $x_0\in U$ $f$ a mostrar que la neta $(F_W)_W$ no concurre en todos los en $x_0$ (al menos yo intuitivamente creo que este es el caso, se opuso a que en la red, de hecho, converge en todas partes, pero no a un continuo lineal, funcional).

Answer 1

Considerar la neta $FIN(U)$ finito de dimensiones de los subespacios de $U$. Para cada finito dimnsional subespacio $W$ funcional $f|_W$ es continua. Extender el uso de Hahn-Banach teorema para obtener continua funcional $F_W$ $U$ tal que $F_W|_W=f|_W$. Por construcción $(F_W)_{W\in FIN(U)}$ es una red de continua funcionales, y debido a $F_W|_W=f|_W$ esta red pointwise converge a la función $f$ que es discontinua.

Ahora tenemos que mostrar la existencia de al menos una discontinuo funcional en infinitas dimensiones de la lcs $U$. Desde $U$ es de infinitas dimensiones que tiene una infinidad de Hamel base, decir $(e_i)_{i\in I}$. Corrección de cualquier barrio de $0$ que denotamos $B$. Desde $B$ es un barrio de $0$ por cada $i\in I$ podemos encontrar $\lambda_i\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ tal que $\lambda_i e_i \in B$. Denotar $e_i'=\lambda_i e_i$, $(e_i')_{i\in I}$ es una base de Hamel $U$. Ahora vamos a definir los discontinuo lineal funcional $f:U\to\mathbb{K}$. Claramente no es suficiente para especificar los valores de $f$ sólo en los vectores de la base. Considere la posibilidad de arbirary contables subconjunto $S=\{i_1,\ldots,i_n,\ldots\}$$I$. Definir $f(e_{i_n}')=4^n$ por cada $i_n\in S$$f(e_i')=0$$i\in I\setminus S$. Pretendemos que $f$ es discontinuo. Desde $\{e_i':i\in I\}\subset B$,$\lim\limits_{n\to\infty} 2^{-n} e_{i_n}'=0$, pero $\lim\limits_{n\to\infty} f(2^n e_{i_n}')=\lim\limits_{n\to\infty} 2^{-n} f( e_{i_n}')=\lim\limits_{n\to\infty} 2^{-n} 4^n=+\infty$. Esto demuestra la discontinuidad de $f$.