Dado que el $E$ es un linealmente conjunto ordenado, de tal manera que $E$ no tiene elemento maximal.
A continuación, queremos considerar el conjunto formal de los productos de los elementos de $E$ (es decir, los elementos de la forma $e_1 * e_2 * ... * e_n$ tal que $e_1, e_2, ..., e_n \in E$). Para ello (con mi enfoque personal), creo que es el conjunto de: $$E^{(1)} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E^n$$
(donde $E^n = \{$funciones de$n$$E \}$).
En fin de cuenta para repetir permutaciones, para cada una de las $f \in E^{(1)}$ definir la función de $\#_f \colon E \to \mathbb{N}$ por $\#_f(e) = \mathrm{Card}(\{n \in \mathbb{N} : f(n) = e\})$. A continuación, considere la posibilidad de la equivalencia de la relación de $\sim$ $E^{(1)}$ $f \sim g$ si y sólo si $\#_f = \#_g$, por lo que podemos tomar el cociente $E^{(2)} = E^{(1)} / \sim$.
A continuación, definimos el orden lineal en $E^{(2)}$ a estar dado por la siguiente equivalencia:
- $[f]_\sim \leq [g]_\sim$
- Para todos los $e \in E$, $\#_f(e) \leq \#_g(e)$ o existe $\epsilon \in E$$e < \epsilon$$\#_f(\epsilon) < \#_g(\epsilon)$.
Esto nos da una buena definición de orden lineal sobre el conjunto de formal productos de $E$ (donde todos los elementos de a $E$ son tratados como positivo, y el vacío de producto representa el $1$). Podemos agregar rápidamente en elementos negativos por tomar una copia de $E^{(2)}$ con clasificación inversa (que podemos denotar por $\mathrm{Neg}(E^{(2)})$), y definir $E^{(3)} = \mathrm{Neg}(E^{(2)}) \sqcup E^{(2)}$ con orden lineal dado que tiene todos los elementos de a $\mathrm{Neg}(E^{(2)})$ preceder a todos los elementos de a $E^{(2)}$.
Dado este orden, hay una forma canónica para ampliar nuestra orden lineal para el conjunto de formal sumas de $E^{(3)}$ (es decir, los elementos de la forma $e_{1,1}*...*e_{1,n_1} + ... + e_{m,1}*...*e_{m,n_m}$), de tal forma que si $x, y \in E^{(3)}$$x < y$$n \in \mathbb{N} \backslash \{0\}$$n*x < y$. Los detalles quedan fuera debido a ser tedioso, pero puede ser agregado si se solicita.
Lo cual nos deja con un anillo de pedida $\mathrm{Ring}(E)$, que a la vez nos da un orden de campo $\mathrm{Field}(E)$ (el campo de fracciones de $\mathrm{Ring}(E)$).
Tenga en cuenta que $E$ es cofinal en $\mathrm{Field}(E)$. Así que si $E$ tiene una bien ordenada cofinal subconjunto, a continuación, $\mathrm{Field}(E)$ tiene una bien ordenada cofinal subconjunto.
Si $\mathrm{Field}(E)$ tiene una bien ordenada cofinal subconjunto (decir $S$). Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que cada elemento de a $S$ es positivo. Entonces existe un único ordinal $\alpha$ y un pedido único isomorfismo $h \colon \alpha \to S$.
- A continuación, para todos los $s \in S$ existe únicas $p_s, q_s \in \mathrm{Ring}(E)$$s = \frac{p_s}{q_s}$, de tal manera que $\frac{p_s}{q_s}$ está en forma reducida.
- A continuación, $P = \{ p_s \in \mathrm{Ring}(E) : s \in S \}$ es cofinal subconjunto de $\mathrm{Field}(E)$ $p_s \geq s$ todos los $s \in S$, debido a $1$ es el más pequeño elemento positivo en $\mathrm{Ring}(E)$. Además tenemos que $h^{*} \colon \alpha \to P$ $h^{*}(a) = p_{h(a)}$ es un bien definido surjective función.
- A continuación, para todos los $p \in P$ existe un único $t_p \in E^{(2)}$ tal que $t_p$ es el líder plazo en $p$, ya que cada elemento de a $P$ es una única suma de un número finito de elementos en $E^{(2)}$.
- A continuación, $T = \{ t_p \in E^{(2)} : p \in P \}$ es cofinal subconjunto de $\mathrm{Field}(E)$ $E$ no tiene elemento maximal. Además tenemos que $h^{**} \colon \alpha \to T$ $h^{**}(a) = t_{h^{*}(a)}$ es un bien definido surjective función.
- A continuación, para todos los $t \in T$ existe un único $e_t \in E$ tal que $e_t$ es el valor máximo en el producto, ya que cada elemento de a $T$ es un producto único de un número finito de elementos de $E$.
- A continuación, $X = \{ e_t \in E : t \in T \}$ es cofinal subconjunto de $\mathrm{Field}(E)$ $E$ no tiene elemento maximal. Además tenemos que $h^{***} \colon \alpha \to X$ $h^{***}(a) = e_{h^{**}(a)}$ es un bien definido surjective función.
- A continuación, $X$ es cofinal subconjunto de $E$ $E$ es cofinal en $\mathrm{Field}(E)$.
- Entonces podemos considerar el subconjunto $Y = \{ h^{***}(a) \in X : \forall b \in a, h^{***}(b) < h^{***}(a) \}$, que es cofinal en $E$ y bien ordenado por $h^{***}|_Y$ con la orden de $h^{***}|_Y$ estaba de acuerdo con el orden de $E$.
- A continuación, $Y$ es bien ordenado cofinal subconjunto de $E$.
A continuación, $E$ tiene una bien ordenada cofinal subconjunto, si y sólo si, $\mathrm{Field}(E)$ tiene una bien ordenada cofinal subconjunto.
Así que si todos los pedidos de campo tiene una bien ordenada cofinal subconjunto, entonces cada linealmente conjunto ordenado sin un elemento maximal tiene una bien ordenada cofinal subconjunto (como $E$ es arbitrario).
Así que si todos los pedidos de campo tiene una bien ordenada cofinal subconjunto, entonces cada linealmente ordenado conjunto bien ordenado cofinal subconjunto (como cualquier linealmente ordenado conjunto con un elemento maximal claramente tiene una bien ordenada cofinal subconjunto).
Por lo tanto todos los pedidos de campo tiene una bien ordenada cofinal subconjunto, si y sólo si, cada linealmente ordenado conjunto bien ordenado cofinal seubset (como la inversa de demanda es trivial).
