la convergencia de la serie$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x_n}{n^b}$

Question

Suponga que la secuencia$y_n=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n^a}$ está limitada, donde$a>0$ y$x_n$ es una secuencia de números reales. Probar que si b> a entonces$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x_n}{n^b}$ es convergente. He intentado resolver en el caso a = 1, b = 2 calculando x con respecto a y, obtenemos

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Sin embargo, incluso en este caso sencillo no puedo llegar a la conclusión. ¿Podrías ayudarme con esto por favor? Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Una ligera modificación de la prueba de Dirichlet para la convergencia funciona para este problema:

Deje$s_0=0$ y$s_n=x_1+\dots+x_n$ para$n\geq 1$ y elija una$C$ constante tal que$|s_n|\leq Cn^a$ para todos$n$. Luego$$ \sum_{n=1}^N\frac{x_n}{n^b}=\sum_{n=1}^N\frac{s_n-s_{n-1}}{n^b}=\frac{S_N}{N^b}+\sum_{n=1}^{N-1}s_n[n^{-b}-(n+1)^{-b}] $ $ por suma por partes.

Para el primer término, tenemos$$ \Big|\frac{S_N}{N^b}\Big|\leq \frac{C}{N^{b-a}}\to 0$ $ como$N\to\infty$.

Para la suma, ya que$n^{-b}>(n+1)^{-b}$ sigue que$$ \sum_{n=1}^{N-1}|s_n(n^{-b}-(n+1)^{-b})|=\sum_{n=1}^{N-1}|s_n|(n^{-b}-(n+1)^{-b})\leq C\sum_{n=1}^Nn^a(n^{-b}-(n+1)^{-b})=$ $$$=Cb\sum_{n=1}^{N-1}n^a\int_{n}^{n+1}x^{-b-1}\;dx\leq Cb\sum_{n=1}^{N-1}\int_n^{n+1}x^{-(b-a)-1}\;dx=Cb\int_1^{N}x^{-(b-a)-1}\;dx$ $

Tomando$N\to\infty$ y usando el hecho de que$(b-a)+1>1$, vemos que$$ \sum_{n=1}^{\infty}|s_n(n^{-b}-(n+1)^{-b})| $ $ converge, y por lo tanto que$$ \sum_{n=1}^{\infty}s_n(n^{-b}-(n+1)^{-b}) $ $ converge. Por lo tanto,$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{n^b}=\sum_{n=1}^{\infty}s_n(n^{-b}-(n+1)^{-b})$ $ converge también.

Answer 2

Pruebe el vertion integral, y vea si puede imitar los pasos, es decir: muestre que si$$ \frac{1}{u^a} \int_1^u X(t) \space dt $ $ está limitado, entonces$$ \int_1^{+\infty} \frac{X(t)}{t^b} \space dt $ $ es convergente para cualquier$b > a$.

Answer 3

Voy a elavorate en mi sugerencia de principios. Que estaba destinado a dirigir en la dirección de @carmichael561 solución.

Supongamos $ C = \sup_{u \ge 1} \frac{1}{u^a} |\int_1^u X(t) \space dt | \tag{1} $ es finito.

A continuación, se relacionan $\int_1^{+\infty} \frac{X(t)}{t^b} \space dt$ a (1), considerar cómo involucrar a $ S(u) = \int_1^u X(t) \space dt $. Desde $S'(u)=X(u)$ tenemos: $$ \int_1^{+\infty} \frac{X(t)}{t^b} \espacio dt = \int_1^{+\infty} \frac{S'(t)}{t^b} \espacio dt = \frac{A(t)}{t^b}{\LARGE |}_1^{\infty} - \int_1^{+\infty} (t)\frac{(-b)}{t^{b+1}} \espacio de dt. \etiqueta{2} $$ El siguiente uso de la hipótesis de que la $|S(t)|/t^a$ está limitada a la conclusión de que ambos términos en la última expresión en (2) son finitos.

¿Qué tiene que hacer con su problema? Así, las integrales son los límites de sumas, por lo que puede ser lo que funcionó para las integrales de obras para su pregunta. También, en el caso de la monotonía de las funciones, integrales y sumas relacionadas (uno puede enlazado sumas con integrales y viceversa). Vamos a sustituir las integrales en el argumento anterior y vamos a ver qué pasa.

Presentamos $S(n) = \sum_{t=1}^n x_t$ (aquí se $t$ toma valores en $\mathbb N$, estoy usando el mismo símbolo que en la integral en caso de que la base de similitudes). ¿Cuál es la relación entre el$S$$x$? En el continuo caso se trata de derivados, en el discretos caso se trata de diferencias: $x_n=S(n) - S(n-1)$ ( $S(0)=0$ ). A continuación, se procede como @carmichael561 : $$ \sum_{n=1}^N\frac{x_n}{n^b}= \sum_{n=1}^N\frac{S(n)-S(n-1)}{n^b}= \frac{S(N)}{N^b}+\sum_{n=1}^{N-1}S(n)[n^{b}-(n+1)^{b}] .\la etiqueta{3} $$

En el caso continuo, en lugar de la diferencia de $n^{-b}-(n+1)^{-b}$, tuvimos la derivada de $\varphi(t) = 1/t^b$. Pero la diferencia entre los dos valores de $1/t^b$ puede estar relacionado con un valor de su derivada como en el teorema del valor intermedio: $$ n^{b}-(n+1)^{b} = -( \varphi(n+1) - \varphi(n) ) = - \varphi(n+\theta) = \frac{b}{(n+\theta)^{b+1}} \le \frac{b}{n^{b+1}} \etiqueta{4} $$ para algunos $\theta \in (0,1)$ . Aquí $\theta$ depende de $n$$b$, es el valor exacto no es importante, sabemos que es entre el$0$$1$, por lo que sabemos un valor aproximado de $\theta$, y lo que sabemos es suficiente para justificar la última desigualdad en (4).

Por tanto, los términos de la última serie en (3) cumplir con: $$ |S(n)| \large{(} \frac{1}{n^b} - \frac{1}{(n+1)^b} \large{)} \le |S(n)| \frac{b}{n^{b+1}} \le C \frac{b}{n^{b-a+1}}. $$ Por lo tanto la serie es summable.