Un problema de expansión binomial de distinto tipo

Question

Supongamos que tenemos $$(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{2n} x^{2n}.$$

¿Cuál será el valor de $a_0^2 - a_1^2 + a_2^2 - \cdots + a_{2n}^2$ ?

La respuesta es $a_n$ pero no puedo resolverlo.

Verás, lo que he hecho es sustituir $x$ como $-\frac{1}{x}$ y tengo:

${\frac{(x^2-x+1)}{x^2}}^n = a_0 - \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x^2}+...$

Tengo los signos alternos pero no consigo los cuadrados de los números.

Answer 1

Dejemos que $(1+x+x^2)^n=\sum_ka_kx^k$ . Entonces:

\begin{align} (1+x^2+x^4)^n&=(1-x^{-1}+x^{-2})^n(1+x+x^2)^nx^{2n}\\ \sum_ja_jx^{2j}&=\sum_k(-1)^ka_kx^{-k}\sum_ja_jx^jx^{2n}\\ &=\sum_j\sum_k(-1)^ka_ka_jx^{2n+j-k}\\ &=\sum_j\sum_k(-1)^ka_ka_{k+j-2n}x^j\\ \end{align}

El $x^{2n}$ El coeficiente del lado izquierdo es $a_n$ el mismo coeficiente en el lado derecho es $\sum_k(-1)^ka_k^2$ .

Answer 2

Desde $$ (1+x+x^2)^n=\sum_{k=0}^{2n}a_kx^k\tag{1} $$ podemos ver lo siguiente de dos maneras $$ \begin{align} \left(1+\frac1x+\frac1{x^2}\right)^n &=\sum_{k=0}^{2n}a_k\frac1{x^k}\\ &=\sum_{k=0}^{2n}a_kx^{-k}\tag{2} \end{align} $$ o como $$ \begin{align} \left(\frac1{x^2}+\frac1x+1\right)^n &=\left(\frac{1+x+x^2}{x^2}\right)^n\\ &=\sum_{k=0}^{2n}a_kx^{k-2n}\\ &=\sum_{k=0}^{2n}a_{2n-k}x^{-k}\tag{3} \end{align} $$ Por lo tanto, $(2)$ y $(3)$ demostrar que $a_k$ es palindrómico; es decir, $$ a_k=a_{2n-k}\tag{4} $$ Además, el uso de $(1)$ y sustituyendo $x\mapsto-x$ obtenemos $$ (1-x+x^2)^n=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^ka_kx^k\tag{5} $$ Utilizando $(1)$ , $(4)$ , $(5)$ y la fórmula para multiplicar series de potencias, obtenemos el coeficiente de $x^{2n}$ en $(1+x+x^2)^n(1-x+x^2)^n$ es $$ \sum_{k=0}^{2n}(-1)^ka_ka_{2n-k}=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^ka_k^2\tag{6} $$ Podemos utilizar $(1)$ para conseguir que el coeficiente de $x^{2n}$ en $(1+x^2+x^4)^n$ es $$ a_n\tag{7} $$ Observando que $(1+x+x^2)^n(1-x+x^2)^n=(1+x^2+x^4)^n$ , $(6)$ y $(7)$ demostrar que $$ \sum_{k=0}^{2n}(-1)^ka_k^2=a_n\tag{8} $$