Explicaciones de Lebesgue número lema

Question

De Planetmath:

Lebesgue número lema: Para cada abierto de la cubierta $\mathcal{U}$ a de un espacio métrico compacto $X$, existe un número real $\delta > 0$ tal que toda bola abierta en $X$ radio $\delta$ está contenida en algunos elemento de $\mathcal{U}$.

Cualquier número de $\delta$ la satisfacción de la propiedad de arriba se llama Lebesgue número para el revestimiento $\mathcal{U}$$X$.

Me siento difícil de imaginar y entender la importancia de este resultado. Me preguntaba si hay alguna explicación para este lema? Intuitivamente,

1. un número más grande o más pequeño que un Lebesgue número no puede ser un Lebesgue número. Así que es un Lebesgue número de la medición simultánea de cómo separados abrir subconjuntos en un abierto de la cubierta, entre otros, y lo grande que cada uno de ellos es?
2. cómo es un espacio métrico es compacto hacen que la existencia de un Lebesgue número posible?
3. Agregado: Es el lema equivalente a decir que para cualquier apertura de la tapa, no existe un número positivo $\delta$, s.t. cualquier abra la cubierta que consta de abierto las bolas con el radio de $\delta$ siempre es un refinamiento de la original de la apertura de la tapa?

Gracias y saludos!

Answer 1

La intuición es la siguiente : para cada una de las $x$ $X$ está incluido en al menos uno de los $U$$\mathcal U$. Desde $U$ abierto, que contiene una bola centrada en $x$ y con un resultado positivo de radio, ¿verdad ? Deje $r(x, U)$ denotar el supremum de todos los de radio. Y deje $r(x)$ el supremum de todas las $r(x,U)$,$U\in\mathcal U$.

Por lo $r(x)$ es una positiva continua de la función en $X$. Pero si $X$ no es compacto, usted puede encontrar una secuencia $(x_n)$ tal que $r(x_n)$ tiende a cero.

Sin embargo, si su espacio métrico $X$ es compacto, entonces $r$ tendrá un mínimo. Este mínimo es, por supuesto, es positivo desde $r$ es. Este mínimo es un número de Lebesgue, la mayor.

Y de hecho, la intuición es una prueba !

Una cubierta con un resultado positivo de Lebesgue número es llamado un uniforme que cubre.

Answer 2

La propiedad característica de un espacio compacto es que cada apertura de la tapa tiene un número finito de subcover, que se utiliza en la demostración de Lebesgue número lema. Estoy seguro de que has leído la prueba de la Lebesgue número lema en algún lugar; de lo contrario me gustaría recomendar la lectura de este uno, que he encontrado para ser muy intuitivo. Rápidamente, la idea de la prueba es como sigue: Comenzar con una cubierta de $\mathcal{U}$. Para cada punto en $X$, hay un $\epsilon$ barrio contenida en un elemento de $\mathcal{U}$. Estos barrios forman una cubierta abierta, la cual debe tener un número finito de subcover desde $X$ es compacto. Ahora bien, si tomamos $\delta$ $1/2$ veces el menos $\epsilon$, se puede demostrar que cumple con los requisitos de ser un número de Lebesgue.

También me gusta bastante fer la prueba por contradicción: supongamos que no había tal $\delta$. En ese caso, la negación de la Lebesbue número lema dice: existe una cubierta de $\mathcal{U}$ tal que para cada a $\delta>0$, existe una bola abierta de radio $\delta$ no figura en ningún elemento de $\mathcal{U}$. Así, para cada una de las $n$ , se puede elegir una $x\in X$ de manera tal que no $U$ contiene $B_{1/n}(x_n)$ . Ahora, $X$ es compacto, entonces existe una larga $(x_{n_k})$ de la secuencia de puntos de $(x_n)$ que converge a algunos $y\in X$. Pero desde $\mathcal{U}$ es una cubierta abierta, hay algunos $\gamma$ tal que $B_\gamma(y) \subseteq U$ algunos $U\in \mathcal{U}$. Pick $k$ lo suficientemente grande como para que $|x_{n_k}-y|\leq \gamma/2$$1/n_k < \gamma/2$. El uso de la desigualdad de triángulo para mostrar que $B_{1/n_k}\subseteq U$.

En general, mi (no es del todo exacto) la intuición de esto es que para espacios compactos, finito cubre son suficientes. Si un número de Lebesgue no existiera, tendríamos una secuencia de conjuntos que no están incluidos en los elementos de la cubierta, la cual estaría en contradicción con la finitud de la cubierta.

Como para su seguimiento preguntas:

1. Cualquier número menor que un número de Lebesgue es también un número de Lebesgue.
2. Como se vio anteriormente, la compacidad muestra de forma prominente en la prueba del lema.

Answer 3

un no-compacto contraejemplo: considere la posibilidad de la apertura de la tapa $\{(n,n+1)\}\cup\{(n-\epsilon_n,n+\epsilon_n)\}$ $\mathbb{R}$ donde$\epsilon_n\to0$$|n|\to\infty$. las bolas centradas en el entero de los puntos que se hacen más pequeños y más pequeños, más están desde el origen

también tenga en cuenta que un número más pequeño que un lebesgue número es como el número de lebesgue.

Answer 4

2.:

Deje $\cal U$ ser un open de la cubierta del espacio compacto $X$. Supongamos que para cada entero positivo $n$, el open de bola de $B_{1/n}(x_n)$ no figura en ningún elemento de $\cal U$. Desde $X$ es compacta, es secuencialmente compacto, y por lo tanto la secuencia de $\{x_n\}$ tiene un punto límite $x$. Deje $U$ ser un elemento de $\cal U$ contiene $x$. Desde $U$ es un conjunto abierto, hay una bola de $O\subset U$$x\in O$. Por lo suficientemente grande $n$, tenemos $$ B_{1/n}(x_n)\subseteq O\subseteq U, $$ lo que se contradice con la selección de la $x_n$.

No estoy seguro de cómo abordar 1.); pero esto puede ayudar a entender lo que motiva a la Lebesgue número:

Una manera de demostrar que un secuencialmente compacto espacio es compacto (nota: en el de arriba, solo hay que asumió $X$ es secuencialmente compacto) es utilizar el concepto de Lebesgue número y el total de acotamiento de $X$. Estas dos propiedades son disfrutados por secuencialmente compacto métrica espacios.

Dada una apertura de la tapa de la secuencialmente compacto espacio de $X$, uno puede cubrir con un número finito de bolas de radio de menos de la mitad del número de Lebesgue. Estas bolas están contenidos en los elementos de la cubierta está abierta; por lo que la apertura de la tapa tiene un número finito de subcover.

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Una forma de pensar sobre el número de Lebesgue es que si $\cal U$ ha Lebesgue número $\delta$, a continuación, hay elementos de la $\cal U$ que cubrir "trozos" de $X$ (es decir, abrir las bolas con un radio de menos de $\delta$). Contraste esto con la apertura de la tapa de $(0,1)$ $$ {\cal U} =\{ (\estilo de texto{1\over n+1},{1\over n-1} ) :n=2,3,\ldots \} $$ Esta apertura de la tapa es "pequeño" en el sentido de que el open de bola de $(0,\epsilon)$ está contenida en ningún elemento de la misma.

Answer 5

1. Aquí hay otra explicación de la Lebesgue Número Lema: dice que para compact métrica espacios que tienen una muy buena extensión de la noción de un conjunto abierto a una apertura de la tapa. De hecho, Lebesgue Número Lema garantías que para que un espacio métrico compacto $X$ tenemos que $\exists \delta>0, \forall x\in X, \exists U_x\in \mathcal{U}: B_\delta(x)\subseteq U_x$. Esto significa que la apertura de la condición de abierto conjuntos tiene para la portada (este es trivial), y se mantiene "set por set". Para que no pase que nos podemos encontrar en un abrir bola separados por la pone en la portada (y no hay ningún otro juego en la cubierta que lo contiene).

Como una nota del lado, también podemos utilizar este lema a definir una relación de equivalencia en el abierto de bolas de $X$, una vez que hagamos la cubierta distintos. Aunque supongo que esto podría llegar a ser una tarea a seguir.

2. Como se ha señalado en las respuestas anteriores, la compacidad impide la captura de los límites de lo que $\delta$ resulta ser $0$, en cuyo caso las bolas son sólo puntos, y el resultado es trivial.

3. Sí.