convergencia de$\prod_{n=1}^\infty (1-\frac{z}{n!})$

Question

Quiero demostrar que$\prod_{n=1}^\infty (1-\frac{z}{n!})$ es convergente (o uniformemente convergente) (z es complejo)

¿Puedo usar el teorema:

El producto infinito$\prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n)$ converge si y sólo si la serie$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align} \lim_{N\to\infty}\left|\prod_{n=1}^{N}\left( 1-\frac{z}{n!}\right)\right| = & \lim_{N\to\infty}\exp\left(\log\left(\prod_{n=1}^{N}\left| 1-\frac{z}{n!}\right|\right)\right) \\ = & \lim_{N\to\infty}\exp\left(\sum_{n=1}^{N}\log\left| 1-\frac{z}{n!}\right|\right) \\ \leq & \lim_{N\to\infty}\exp\left(\sum_{n=1}^{N}\log\left[1+\frac{|z|}{n!}\right]\right) \\ \end {align} Debido a la desigualdad$\log (x)<x-1$ para todos$x>0$, \begin{align} \lim_{N\to\infty}\left|\prod_{n=1}^{N}\left( 1-\frac{z}{n!}\right)\right| \leq & \lim_{N\to\infty}\exp\left(\sum_{n=1}^{N}\left[\frac{|z|}{n!}\right]\right) \\ = & \lim_{N\to\infty}\exp\left(|z|\sum_{n=1}^{N}\left[\frac{1}{n!}\right]\right) \\= & \exp\left(|z|\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\left[\frac{1}{n!}\right]\right) \\ = & \exp\left(|z|e\right) \\ \end {align}