Productos normales y radicales en grupos finitos

Question

Si $G$ es un grupo finito con el normal subgrupos $M$$N$, $MN$ es un subgrupo, se llama el producto normal de $M$$N$.

Si $\mathcal{F}$ es un conjunto de grupos finitos cerrado bajo isomorfismo y de los productos normales, entonces existe un subgrupo $O_\mathcal{F}(G)$ llama la $\mathcal{F}$-radical , que es el producto normal de todos los subgrupos normales de $G$ que están en $\mathcal{F}$. Si $\mathcal{F}$ además es cerrado bajo condiciones normales de subgrupos, $O_\mathcal{F}(G)$ tiene la propiedad de que un subgrupo de $G$ es un subnormal subgrupo de $\mathcal{F}$ si y sólo si es un subnormal subgrupo de $O_\mathcal{F}(G)$. Este es el material estándar de Montaje de clases, cubierto de decir 6.3 de Kurzweil–Stellmacher del libro de texto.

Me gustaría concluir bastante general que $O_\mathcal{F}(MN) = O_\mathcal{F}(M) O_\mathcal{F}(N)$. Esto es sin duda cierto de productos directos, y estoy teniendo un tiempo difícil ver las diferencias relevantes para el producto normal. Sin embargo, también estoy teniendo problemas para probarlo.

Tengo que $O_\mathcal{F}(M) O_\mathcal{F}(N) \leq O_\mathcal{F}(MN)$ en general, simplemente porque $\mathcal{F}$ es cerrado bajo condiciones normales de productos.

¿Cómo puedo mostrar el reverso de contención? Si no es cierto, es que hay algunos extra hipótesis en $\mathcal{F}$ que lo hace (como subgrupo o el cociente de cierre)?

El caso particular de preocupación es $\mathcal{F}$ que consta de todos los $\pi$-grupos. Puedo fuerza bruta para $\mathcal{F}$ que consta de todos los solucionable $\pi$-grupos, y técnicamente todos los grupos de mi audiencia estaba considerando estaban resueltos, pero prefiero una técnica que trabajó en general, o algunos contraejemplos para mostrar de qué hipótesis extra realmente se utilizan.

Por ejemplo, en mi aplicación $\mathcal{F}$ es cerrado bajo cocientes y todos los subgrupos (un subgrupo cerrado (saturado por Bryce-Cossey) Montaje de la formación), pero dudo mucho si alguna de que extra hipótesis es necesario.

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Edit: Suponga $\mathcal{F}$ es el cociente cerrado por la respuesta positiva. No me actuales tienen un contraejemplo para el general $\mathcal{F}$, pero son aparentemente abundante y bien conocido.

Al parecer, productos directos no funcionan de esta manera para general $\mathcal{F}$ (normal para Montaje clase de contener adecuadamente en la clase de todos los grupos resolubles, por ejemplo). Lockett descubierto la manera de arreglar esto de una manera bastante bajo impacto. Para cualquier Ajuste de la clase $\mathcal{F}$, se asocia a $\mathcal{F}^*$ con la propiedad de que $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}^* = \mathcal{F}^{**} \subseteq \mathcal{F} \mathcal{A}$ y $O_{\mathcal{F}^*}(G \times H) = O_{\mathcal{F}^*}(G) \times O_{\mathcal{F}^*}(H)$$O_{\mathcal{F}^*}(G) = \{ g \in G : (g,h) \in O_\mathcal{F}(G\times G) \}$.

Teorema 2.2 d muestra que si $\mathcal{F}$ es cerrado bajo cocientes o productos residuales (el otro aspecto de ser una formación), a continuación,$\mathcal{F}=\mathcal{F}^*$, por lo que todos los accesorios de las formaciones de trabajo de la manera en que yo pensaba.

... Todavía la comprobación de la normalidad de los productos que no se abordan directamente en el artículo ...

• Lockett, F. Pedro. "El Ajuste de la clase $\mathfrak{F}^*$" De matemáticas. Z. 137 (1974), 131-136. MR364435 DOI:10.1007/BF01214854

Answer 1

Encontré este ejemplo de "Un Curso sobre Teoría de grupos" de J. S. Rose. (ejercicio 159). Esperemos que este es el tipo de contraejemplo que usted estaba buscando.

Deje $\mathcal{F}$ ser la clase de todos los $2$-grupos. Considere la posibilidad de $G = S_3 \times C_2$. Para nuestro normal subgrupos $M$$N$, vamos a $M = S_3 \times 1$$N = \{(\sigma, \operatorname{sgn}(\sigma)): \sigma \in S_3\}$. Ahora $M \cong N \cong S_3$, lo $O_{\mathcal{F}}(M)O_{\mathcal{F}}(N)$ es trivial. Pero $O_{\mathcal{F}}(MN) = O_{\mathcal{F}}(G) = 1 \times C_2$.

Imitando el ejemplo de arriba, creo que el siguiente también debería funcionar. Deje $\mathcal{F}$ ser una clase de grupos finitos cerrado bajo isomorfismo y de los productos normales, y tal que $O_{\mathcal{F}}(S_n)$ es trivial y $O_{\mathcal{F}}(C_2) = C_2$ (es decir. el grupo cíclico de orden $2$ $\mathcal{F}$- grupo). Como en el ejemplo anterior, vamos a $G = S_n \times C_2$$M = S_n \times 1$$N = \{(\sigma, \operatorname{sgn}(\sigma)): \sigma \in S_n\}$. A continuación, $M$ $N$ son normales en $G$ $M \cong N \cong S_n$ $O_{\mathcal{F}}(M)O_{\mathcal{F}}(N)$ es trivial. Ahora $1 \times C_2$ es un trivial normal $\mathcal{F}$-subgrupo de $G = MN$, lo $O_{\mathcal{F}}(MN)$ es trivial.