En el Möbius $\mu$ función

Question

Una búsqueda en wikipedia muestra: $$\mu(n) = \sum_{k=1,gcd(k,n)=1}^{n} e^{2\pi i \frac{k}{n}}$$ Pero que utiliza los números complejos... y requiere encontrar el mcd...

Cuán útil será un método, si que se podría encontrar el valor exacto para $\mu(n)$ función, por el solo hecho de saber todos los valores de $\mu(1)$ hasta $\mu(n-1)$, que no requiere la factorización de un número entero y que sólo utiliza métodos de primaria?

Se ha hecho esto antes? Mi pregunta es, más precisamente:

¿Alguna de esas fórmulas existen?

Answer 1

Möbius mu función se denota por a $\mu(x)$. Otra función que me mientras que el estudio de Dirichlet eta función $$\nu(x) = \rho\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2} - \rho\left(\frac{x}{2}+ \frac{1}{2}\right)$$ donde, $\rho(x)$ es la parte fraccionaria de $x$. Observe $\nu(x)$ sólo toma los valores de $0$ $1$

Mientras se trabaja con un criterio (equivalente a la Nyman-Beurling enfoque) para Dirichlet eta función, que he observado, $$\sum_{k=1}^{n} \mu(k) \nu(n/k) = -1 $$ for all $n \geq 2$

Me ha dado un algoritmo recursivo para calcular el $\mu$ desde el cálculo de $\nu$ es mucho más fácil. Empezamos con $$f_1(x) = \nu(x)$$ $$f_n(x) = f_{n-1}(x) + \mu(n)\nu(x/n)$$ A continuación, $$\mu(n) = -1 - f_{n-1}(n)$$