Demostrar que ninguno de $\{11, 111, 1111,\dots \}$ es el cuadrado perfecto de un número entero

Question

Por favor, ayúdenme a resolver esto:
demostrar que ninguno de $\{11, 111, 1111 \ldots \}$ es el cuadrado de cualquier $x\in\mathbb{Z}$ (es decir, no hay $x\in\mathbb{Z}$ tal que $x^2\in\{11, 111, 1111, \ldots\}$ ).

Answer 1

Una pista: Los cuadrados perfectos no son de la forma $4k+3$ , donde $k$ es un número entero.

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Una pista: Para un número entero par, $n=2j$ entonces $n^2 = (2j)^2 = ??$ Para un número entero impar, $n=2j+1$ entonces $n^2 = (2j+1)^2 = ??$ .

Answer 2

Un número cuadrado nunca puede terminar con dos dígitos Impares

Si lo hiciera tendría que ser el cuadrado de un número impar $x = 10a+b$ donde $b$ es impar.

$x^2 = 100a^2 + 20ab + b^2$ por lo que sólo hay que comprobar $x = 1,3,5,7$ o $9$ que el dígito 10s es par y el resto sigue.

Answer 3

Supongamos que existe un número que al cuadrado da $11 \cdots111$ . Dejemos que $ba$ sean sus dos últimos dígitos. Entonces $a=1$ o $a=9$ .

Pero si $a=1$ entonces la cifra de las decenas es $b + b \pmod{10}$ que es par.

Si $a=9$ , , entonces la cifra de las decenas es $9 b + 8 + 9 b \pmod{10} = 18 b + 8 \pmod{10}$ que también es par.

Entonces, la cifra de las decenas no puede ser $1$ .

Por el mismo razonamiento, se puede obtener el resultado más fuerte (véase la respuesta de Philip Gibbs) de que un cuadrado no puede terminar con dos dígitos Impares.

Answer 4

Cada número entero es de una de las formas $\color{green}4k$ , $\color{green}4k+\color{red}1$ , $\color{green}4k+\color{red}2$ o $\color{green}4k+\color{red}3$ con $k$ entero. El cuadrado de un número entero tiene por tanto una de las formas

• $(\color{green}4k)^2 = 16k^2 = \color{green}4(4k^2) = \color{green}4k_0$ ,
• $(\color{green}4k+\color{red}1)^2 = 16k^2+8k+1 = \color{green}4(4k^2+2k)+\color{red}1 = \color{green}4k_1+\color{red}{1}$ ,
• $(\color{green}4k+\color{red}2)^2 = 16k^2+16k+4 = \color{green}4(4k^2+4k+1)=\color{green}4k_2$ o
• $(\color{green}4k+\color{red}3)^2 = 16k^2+24k+9 = \color{green}4(4k^2+6k+2)+\color{red}1 = \color{green}4k_3+\color{red}1$ .

Es decir, un cuadrado perfecto equivale a $\color{red}0$ o a $\color{red}1$ modulo $\color{green}4$ .

Por otro lado, $R_n=\underbrace{1\ldots1}_n=(10^n-1)/9$ para $n>1$ tiene la forma

• $R_n=100R_{n-2}+11 = \color{green}4(25R_{n-2}+2)+\color{red}3 = \color{green}4k_r+\color{red}3$ .

Es decir, para $n>1$ , $R_n$ equivale a $\color{red}3$ modulo $\color{green}4$ que, como se ha demostrado anteriormente, no se da en el caso de los cuadrados perfectos.

Answer 5

Si $n\equiv11\pmod{100}$ entonces $$ \begin{align} n &=100k+11\\ &=4(25k+2)+3\\ &\equiv3\pmod{4} \end{align} $$ Si $n$ está en paz, $n=2k$ y $n^2=4k^2$ . Así, $n^2\equiv0\pmod{4}$ .
Si $n$ es impar, $n=2k+1$ y $n^2=4(k^2+k)+1$ . Así, $n^2\equiv1\pmod{4}$

Por lo tanto, si $n$ es par o impar, $n^2\not\equiv3\pmod{4}$ y en consecuencia, $$ n^2\not\equiv11\pmod{100} $$