Si $e=\lim\limits_{x\to \infty} (1+x^{-1})^x$, ¿por qué no $e=1$?

Question

Estoy seguro de que esta es una pregunta muy básica, pero me viene molestando desde hace un tiempo:

Si $e=\lim\limits_{x\to \infty} (1+x^{-1})^x$, no $e=1$?

Si $x$ tiende hacia el infinito, ¿por qué no $x^{-1}$ tienden a $0$$e=1^\infty=1$?

Gracias

Answer 1

Su razonamiento básicamente dice \begin{align} \lim_{n \to \infty} \lim_{k \to \infty} (1 + \frac{1}{k})^n =\lim_{n \to \infty} (1 + 0)^n =\lim_{n \to \infty} (1)^n = 1 \end{align} lo cual es correcto.

Pero permítanme señalar que \begin{align} \lim_{k \to \infty} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{k})^n =\lim_{k \to \infty} \infty =\infty. \end{align}

Si usted toma cualquiera de los límites individuales primero, usted tiene dos respuestas diferentes, y ninguno de ellos coincide con la respuesta que usted consigue cuando se toman simultáneamente. Un poco numérico experimento con $n = 20$, dicen, van a convencer de esto.

De hecho, si se mira el binomio de expansión de $(1 + \frac{1}{n})^n$$n > 1$, los dos primeros términos son $$ (1 + \frac{1}{n})^n \aprox 1^n + n \cdot 1^{n-1} (\frac{1}{n})^1 + \ldots \ge 2 $$ así que el límite claramente debe ser mayor que 2.

Answer 2

Trate de pensar en el límite de $x$ va al infinito de $(1/x)\cdot x$.

Su razonamiento me dice que como $x$ se hace grande, $(1/x)$ se encuentra cerca de $0$, lo $(1/x)\cdot x$ se encuentra cerca de $0\cdot x$,$0$.

Obviamente, esa es la respuesta equivocada, aunque, desde la $(1/x)\cdot x$ es siempre igual a 1, y por tanto debe ir a $1$ $x$ va al infinito.

Moraleja: Si una parte de su expresión es cada vez más pequeño y la otra parte es cada vez más grande, no se puede mirar en cada parte por separado. Tienes que pensar acerca de cómo interactúan.

Answer 3

Usted está interpretando $$\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$ como $$\lim_{x\to\infty} \left(\lim_{y\to\infty} 1 + \frac{1}{y}\right)^x.$$ Mientras que este último límite es 1, no es igual a la ex límite. Usted no puede tomar el límite en los pasos; tiene que dejar a $x$ ir hasta el infinito simultáneamente en todas partes y que aparece en la expresión.

Para ver por qué se $e > 1$, al considerar los valores numéricos de las cantidades 2, $(1+\frac{1}{2})^2$, $(1+\frac{1}{3})^3$, etc.

Answer 4

Intuitivamente, usted está buscando en $$ (\text{something slightly bigger than } 1)^{\text{something going to } \infty} $$

Ahora, el número base es $1 + 1/n$ y se vuelve más y más a $1$$n\to\infty$, con una velocidad de $n$. Al mismo tiempo, el exponente tiende a $\infty$ con velocidad de $n$.

Sabes que para cualquier finito (y positivo) número de $x$$x^\infty = \infty$$1^x = 1$, pero nuestra situación es sutil, ya que la base es sólo tiende a $1$ y el exponente es sólo tiende a infinito.

Tienes dos fuerzas en competencia tirando de una cuerda y la pregunta es: ¿quién va a ganar?

Sorprendentemente no hay ganador, sino un equilibrio de valor: la famosa $e$. Por esta razón, me gusta pensar que $e$ es sinónimo de equilibrio.

Answer 5

A grandes rasgos: Por el teorema del binomio $$\eqalign{e&:=\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x\\&\color{white}:=\lim_{x\to\infty} {x \elegir 0}1^x \left(\dfrac1x\right)^0 + {x \a elegir 1}1^{x-1}\left(\dfrac1x\right)^1 + {x \elegir 2}1^{x 2}\left(\dfrac1x\right)^2 + \cdots + {x \elegir x-1}1^1 \left(\dfrac1x\right)^{x-1} + {x \elegir x}1^0 \left(\dfrac1x\right)^x, }$$ as $x\to\infty$, those binomial coefficients takes on a large value, and the $(\tfrac1x)^n$ terms takes on extremely small values, so their product gives us some "small stuff" that when summed up converges to some value. And we know for sure that this value is at least $2$ since the sum of the two first terms in the binomial expansion is equal to $2$.