Inversa y derivada de una función

Question

Encontrar un ejemplo de una función inversa de f(x) tal que su derivada es la misma que la de su inversa.

He probado muchas diferentes funciones, pero no funcionó.

Answer 1

Si he entendido bien su pregunta, y suponiendo que se preguntan acerca de las funciones de más de $R,$ no hay tal función. De hecho, si $f'(x)=g(x)$ $f(g(x))=x=g(f(x))$ $f'(f(x))=x.$ Pero $f$ tiene que ser un bijection por lo que es monotono y derivados no se puede cambiar el signo.

Answer 2

Nos encontramos con una función definida para todos los positivos $x$, con las propiedades adecuadas.

No puede haber ninguna teoría general, así que vamos a perder el tiempo y buscar una función de la forma $f(x)= cx^a$, para las constantes $a$$c$.

Entonces la derivada de $f$ está dado por $f'(x)=acx^{a-1}$. La función inversa está dada por $f^{-1}(x)=\frac{x^{1/a}}{c^{1/a}}$. Así que necesitamos $$acx^{a-1}=\frac{x^{1/a}}{c^{1/a}}.$$ Para el de la identidad por encima de celebrar, queremos $a-1=\frac{1}{a}$. Reescribir como $a^2-a-1=0$, lo que ha $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ como una raíz. Bonito número!

También queremos $ca=\frac{1}{c^{1/a}}$. Hay un $c$. Está dada por $$c=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{1/\sqrt{5}}.$$