Es bien sabido que si una función derivable $f:I \to \mathbb{R}$ ($I$ un intervalo) se ha acotado de derivados, entonces es uniformemente continua. Por otro lado, no son funciones diferenciables, que son uniformemente continuas, pero cuya derivada es no acotada. Mi pregunta o duda es la siguiente. ¿Existe una función derivable $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, y un subconjunto $X \subseteq \mathbb{R}$, de tal manera que $f'$ está delimitada en $X$, y $f$ no es uniformemente continua en a $X$? Tenga en cuenta que $X$ no puede ser un intervalo, un finito distinto de la unión de los intervalos, ni puede ser un conjunto discreto.
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Vamos a empezar con
$$h(x) = \begin{cases} \hphantom{-}4(x+2) &, -2\leqslant x < -\frac{3}{2}\\ -4(x+1) &, -\frac{3}{2} \leqslant x < -1\\ -4(x-1) &, \hphantom{-}\; 1 \leqslant x < \frac{3}{2}\\ \hphantom{-} 4(x-2) &, \hphantom{-}\frac{3}{2}\leqslant x < 2\\ \qquad 0 &, \hphantom{-} \text{ otherwise.} \end{casos}$$
Para $c > 0$, vamos
$$h_c(x) = c\cdot h(c\cdot x).$$
A continuación, $h_c$ es continua, y $\int_{-\infty}^0 h_c(x)\,dx = 1$$\int_{-\infty}^\infty h_c(x)\,dx = 0$. Ahora vamos a
$$g(x) = \sum_{n=1}^\infty h_{5^n}\left(x-n-\frac{1}{2}\right).$$
Cada $g_n(x) = h_{5^n}\left(x-n-\frac12\right)$ se desvanece de forma idéntica fuera del intervalo de $[n,n+1]$, lo $g$ es continua, y
$$f(x) = \int_0^x g(t)\,dt$$
está bien definido y continuamente diferenciable.
Además, $f(x) \equiv 0$ en cada intervalo de $\left[n, n+\frac{1}{2} - \frac{2}{5^n}\right]$, e $f(x) \equiv 1$ en cada intervalo de $\left[n+\frac{1}{2}-\frac{1}{5^n}, n+\frac{1}{2}+\frac{1}{5^n}\right]$. Por lo tanto en
$$X = \bigcup_{n=1}^\infty \left(\left[n, n+\frac{1}{2} - \frac{2}{5^n}\right] \cup \left[n+\frac{1}{2}-\frac{1}{5^n}, n+\frac{1}{2}+\frac{1}{5^n}\right]\right)$$
tenemos $f' \equiv 0$, por lo que la derivada es limitada, pero
$$f\left(n+\frac{1}{2}-\frac{1}{5^n}\right) - f\left(n+\frac{1}{2}-\frac{2}{5^n}\right) = 1$$
para todos los $n$, mientras que la distancia entre los dos puntos es $5^{-n}$ que se convierte arbitrariamente pequeño, por lo $f$ no es uniformemente continua en a $X$.
Si la sentencia
Tenga en cuenta que $X$ no puede ser un intervalo, un discontinuo de la unión de los intervalos, ni puede ser un conjunto discreto.
estaba destinado a prohibir la construcción como en el anterior, donde $X$ es un discontinuo de la unión de los intervalos, podemos obedecer la letra de la ley (pero no el espíritu) mediante la adición de un subconjunto arbitrario de $(-\infty,0)$ que no es una unión de intervalos disjuntos.
Danny Tuppeny
Puntos
124
Vamos $$f(x)=cos(x^2),\quad \text{and}$$ $$X=\{x:|f'(x)|\le1\}.$$
La función es diferenciable en todas partes, y oscila más rápido y más rápido a $\pm\infty$, sin embargo, mantiene la consecución de $\pm1$ $f'(x)=0$ en esos puntos. Así que hay una pequeña, pero no cero la longitud de la zona alrededor de cada pico donde la derivada es $-1\le f'(x)\le1$. $X$ es el conjunto de exactamente esos puntos.
Los picos son en $x=\pm\sqrt{2k\pi}$ $(k\in\mathbb{Z})$ y los valles son en $y=\pm\sqrt{(2k+1)\pi}$. Creación de secuencias de los picos y valles de ir a la derecha desde el origen $(n\in \left\{0,1,... \right\})$, tenemos $$|y_n-x_n|=\left|\sqrt{(2n+1)\pi}-\sqrt{2n\pi}\right|\rightarrow0$$ but $$\left|f(y_n)-f(x_n)\right|=|-1-1|=2$$así que por la secuencia de la caracterización de la convergencia uniforme, la función no es uniformemente convergente en este conjunto.
