Curvatura(curvatura(A)) con la Notación de Sumatoria de Einstein

Question

Tengo dos preguntas sobre el cálculo de $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) $ con sumación de Einstein notación basada en http://www.physics.ohio-state.edu/~ntg/263/folletos/tensor_intro.pdf. Se considera que el $i$th componente. Todos los colores han sido añadidos por mí. $$ (\color{green}{\nabla} \color{red}{\times} \color{purple}{(\nabla \times \mathbf{A})})_i = \color{red}{\epsilon_{ijk}}\color{green}{\partial_j} \color{purple}{(\nabla \times \mathbf{A})}_k \tag{*}$$

$$ = \color{red}{\epsilon_{ijk}}\color{green}{\partial_j} \color{purple}{\epsilon_{klm}\partial_lA_m}$$ $$ = \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\partial_j \partial_lA_m $$ $$ = \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}\partial_j \partial_lA_m $$ $$ = (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) \partial_j \partial_lA_m $$ Ahora, elija $j \rightarrow m$ $ l \rightarrow i $ en el primer término y deje $j \rightarrow l$ $ m \rightarrow i $ en la segunda:

$$ = \partial_m \partial_iA_m - \color{blue}{\partial_l \partial_lA_i}$$ $$ = \partial_i(\partial_m A_m) - \color{blue}{(\partial_l \partial_l\mathbf{A})_i}\tag{**}$$

$\Large{\text{Question 1}}$. En (*), donde el subíndice $k$ en el RHS? No estamos mirando a la $i$th componente? Sé que $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a_gb_h\epsilon_{ghi}\mathbf{\hat{e_i}} = (..., \underbrace{a_gb_h\epsilon_{ghi}}_{i\text{th component}}, ...)\Longrightarrow (\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = a_gb_h\epsilon_{ghi} $.

$\Large{\text{Question 2}}$. En ( * * ), ¿cómo se $ \color{blue}{\partial_l \partial_lA_i = (\partial_l \partial_l\mathbf{A})_i} $ ?

Answer 1

Me gusta su formato.

Primera pregunta: (*) es simplemente la aplicación de la definición de $$ (\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = a_j b_k \epsilon_{jki} = a_j b_k \epsilon_{ijk} $$ Deje $\mathbf{a} = \nabla = (\partial_1, \partial_2,\partial_3)$, y $a_j = \partial_j$. $\mathbf{b} = \nabla \times \mathbf{A}$ aquí, por lo tanto $$ (\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A}))_i = \partial_j(\nabla\times \mathbf{A})_k \epsilon_{ijk} $$

Aviso repetido subíndices obtener cancelado, así que aquí $i$ deja de aparecer como un subíndice en el lado derecho de (*), pero es en la de Levi-Civita símbolo. También, $k$ es sólo un muñeco de suma subíndice. Lo que es el $i$-ésimo componente de $\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A})$, para subíndice $i$ es en el símbolo de permutación.

Segunda pregunta: aviso $$\partial_l \partial_l A_i = \sum_{l=1}^3 \partial_l \partial_l A_i $$ mientras $$ \partial_l \partial_l \mathbf{A} = \sum_{i=1}^3 \partial_l \partial_l (\sum_{i=1}^3 A_i \mathbf{e}_i) = \sum_{i=1}^3\left(\sum_{i=1}^3 \partial_l \partial_l A_i\right)\mathbf{e}_i $$ por lo tanto $$(\partial_l \partial_l \mathbf{A})_i = \partial_l \partial_l A_i$$

Finalmente la identidad: $$ \nabla\times(\nabla\times \mathbf{A}) = -\Delta \mathbf{A} + \nabla \nabla\cdot\mathbf{A}. $$ No sé si hay una prueba directa, sin necesidad de ampliar el conjunto de la cosa como la suma.

Answer 2

Basado en Shuhao Cao detallada y responder de manera útil, me di cuenta de que una manera más simple de entender (**) es el primero en aceptar que $[\mathbf{F}]_i = F_i $.

Esto es cierto porque las $\mathbf{F} = \sum_{i = 1}F_i\mathbf{\hat{e_i}} \Rightarrow [\mathbf{F}]_i = F_i$.