Demostrar que, para cada función racional $h(x)$, la función de $f(x)=e^{x^2}$ no admite una primitiva en la forma $G(x)=e^{x^2}h(x)$.

Question

Estoy tratando de este ejercicio:

Demostrar que, para cada función racional $h(x)$, la función de $f(x)=e^{x^2}$ no admitir (en cualquier intervalo en $\mathbb{R}$) una primitiva en la forma $G(x)=e^{x^2}h(x)$.

Supongo que $G'(x)=f(x) \ \ \ \rm \forall x \in I \subset \mathbb{R}$ para un intervalo de, por lo $G'(x)=e^{x^2}h'(x) + h(x)e^{x^2}2x$. Pero $h(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ donde $p(x)$ $q(x)$ son polinomios, por lo $G'(x)=e^{x^2}\dfrac{p'(x)q(x)-q'(x)p(x)}{(q(x))^2}+\dfrac{2xe^{x^2}p(x)}{q(x)}=e^{x^2}$. Simplificando la ecuación llego $p'(x)q(x)-q'(x)p(x)+2xp(x)q(x)=(q(x))^2$. Ahora, me gustaría encontrar una contradicción, pero no puedo. Tal vez la he interpretado erróneamente el texto y los polinomios $p(x)$ $q(x)$ se entero de polinomios?

Answer 1

Una manera de terminar con esto es la siguiente. Por desgracia, esto asume que usted sabe un par de cosas acerca de la divisibilidad de polinomios.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $q(x)$ $p(x)$ no tienen factores comunes. Por que siempre se puede simplemente cancelar ese factor.

Yo el primer reclamo que $q(x)$ debe ser constante. Supongamos que no. A continuación tiene algunos polinomio irreducible $r(x)$ como un factor (por lo que sea a $r(x)$ es lineal, o una ecuación cuadrática sin ceros). Deje $n$ ser la mayor potencia tal que $r(x)^n\mid q(x)$. Por lo $n\ge1$. Entonces

• $r(x)^{2n}$ es un factor del lado derecho.
• los polinomios $2xp(x)q(x)$ $q(x)p'(x)$ son ambos divisibles por $r(x)^n$.
• debido a que el polinomio $p(x)$ no es divisible por $r(x)$, el producto $p(x)q'(x)$ es divisible por $r(x)^{n-1}$, pero no por $r(x)^n$.

Por lo tanto, en la ecuación no es sólo un término que no es divisible por $r(x)^n$. Esta es una contradicción.

Ok. Por lo $q(x)$ es una constante. Sin pérdida de generalidad $q(x)=1$. Entonces el polinomio $2xp(x)$ tiene el grado más alto que cualquier otro término. Que también es una contradicción. Hecho.