"inverso multiplicativo en el módulo del número mayor" ¿qué significa eso?

Question

Mientras leía este artículo He leído el siguiente párrafo:

Lo interesante es que si dos números tienen un $\gcd$ de $1$ entonces el menor de los dos números tiene un inverso multiplicativo en el módulo del número mayor. Se expresa en la siguiente ecuación:

y da el siguiente ejemplo:

Trabajemos en el conjunto $\mathbb{Z_9}$ entonces $4\in\mathbb{Z_9}$ y $\gcd(4,9)=1$ .

Por lo tanto, $4$ tiene un inverso multiplicativo (escrito $4^{1}$ ) en $\bmod9$ que es $7$ .

Y efectivamente, $4\cdot7=28\equiv1\pmod9$ .

Pero no todos los números tienen inversos.

Por ejemplo, $3\in\mathbb{Z_9}$ pero $3^{1}$ ¡no existe!

Esto se debe a que $\gcd(3,9)=3\neq1$ .

pero lo que no entiendo es qué quiere decir con:

entonces el menor de los dos números tiene un inverso multiplicativo en el módulo del número mayor.

y cómo consiguió el $7$

Answer 1

Los dos números de su ejemplo son $4$ y $9$ . La afirmación es que $4$ tiene una inversa multiplicativa en los enteros módulo $9$ o, en otras palabras, hay un número entero $n$ tal que $4 \cdot n \equiv 1 \mod 9$ . El $7$ puede obtenerse mediante un poco de ensayo y error (sólo hay que comprobar los enteros $1$ a través de $9$ ). A continuación, da un ejemplo de un número entero que no tiene un inverso multiplicativo módulo $9$ , a saber $3$ .

Answer 2

¿Cómo está usted familiarizado con aritmética modular ? Lo que el autor quiere decir es que si $\gcd(n,m)=1$ y $m<n$ , entonces podemos encontrar un número $k\in\{1,2,...,n-1\}$ tal que $mk\equiv 1(\mod n)$ .

Una forma de encontrar la inversa multiplicativa es utilizar la Algoritmo euclidiano ampliado pero para algo pequeño como $4$ y $9$ es bastante rápido simplemente multiplicar $4$ por todo lo que hay en el conjunto $\{1,2,...,8\}$ y ver lo que resulta ser congruente con $1$ modulo $9$ . Es un hecho de la teoría de grupos que sólo uno de estos números debe ser el inverso.

Answer 3

Concretamente, lo que quiere decir es lo siguiente: si $a<b$ son enteros positivos, y son coprime (es decir, su gcd es 1), entonces hay algún número entero $c$ tal que $ac$ deja un resto de 1 cuando se divide por $b$ - es decir, $ac-1$ es un múltiplo de $b$ .

Una forma más abstracta de decirlo: consideremos el conjunto $\{0, 1, . . . , b-1\}$ . Existe una operación binaria $\otimes$ sobre este conjunto, "inspirado" en la multiplicación sobre los enteros, que se define como sigue: $x\otimes y$ es el resto que queda cuando $xy$ se divide por $b$ . Así, por ejemplo, si $b=7$ entonces $4\otimes 3=5$ . De forma similar, podemos ampliar la adición de esta manera: $a\oplus b$ es el resto que queda cuando $a+b$ se divide por $b$ . El conjunto $\{0, 1, . . . , b-1\}$ equipado con estas operaciones se denomina enteros módulo $b$ .

En el universo normal, la inversa multiplicativa de un número $x$ es un número $y$ tal que $xy=1$ . En los números enteros, no hay números (interesantes) con inversos multiplicativos; en los enteros módulo $b$ Sin embargo, ¡obtenemos muchos inversos multiplicativos! Por ejemplo, si $b=7$ entonces 2 es el inverso multiplicativo de 4 en los enteros módulo 7.

(NOTA: En general, cualquier operación sobre los enteros que respeta los restos tiene un análogo en el conjunto $\{0, 1, . . . , b-1\}$ pero lo que más nos interesa es el plus y la hora).

En cuanto a la notación, lo que he escrito arriba no es estándar. Se escribe " $a\equiv c$ $(mod$ $b)$ " para significar que $a$ deja un remanente de $c$ cuando se divide por $b$ (o que $a$ y $c$ dejan el mismo resto); por lo que solemos escribir " $x+y\equiv z$ $(mod\,\, b)$ " en lugar de " $x\oplus y=z$ en mod $b$ ".

Answer 4

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo y considere los enteros positivos, $x$ que sean inferiores a $n$ y para el cual $\gcd(x,n)=1$ . Entonces $x$ es invertible módulo $n$ . Además, si $\gcd(x,n) > 1$ entonces $x$ no es invertible módulo $n$ .

Por ejemplo $\gcd(3,14)=1$ y $3 \cdot 5 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{14}$ . Sin embargo, $\gcd(6,14)=2$ y no hay ningún número entero $y$ tal que $6y \equiv 1 \pmod{14}$

Answer 5

La inversa multiplicativa de un número $a\in R$ para un anillo $R$ es un número $a^{-1}$ tal que $aa^{-1}=1$ .

Lo que quiere decir al decir "módulo del número mayor" que podemos denotar $b$ es un inverso multiplicativo de $a$ (el número más pequeño) en el anillo $\mathbb{Z_b}$ que es el anillo de los enteros bajo la identificación $\forall c,d \in \mathbb{Z} \ \ \bar{c}=\bar{d}\in\mathbb{Z}_b \ \iff c\equiv d(\mbox{mod} b)$ .

Esto es interesante porque en general $\mathbb{Z}_b$ es un anillo en el que no sabemos si tenemos inversos multiplicativos.

$\mathbb{Z}_b$ es un campo (anillo conmutativo con inversos) $\iff \ b$ es un número primo.