$-1 = 0$ por integración por partes de $\tan(x)$

Question

Yo tenía un cálculo final de ayer, y en una pregunta que tenía que encontrar una primitiva de $\tan(x)$ con el fin de resolver una ecuación diferencial.

Un amigo mío se olvidó de que tan primitivo que fácilmente podría ser encontrado, se trató de integrar a $\tan(x)$ por partes... y entonces llegó el resultado de la $0 = -1$. El tipo de cosa que está muy satisfecho de "probar", excepto durante un examen importante. :-°

Así que después de que yo traté de hacer lo mismo :

$$\begin{align*} \int \tan(x)dx &= \int \sin(x) \times \frac{1}{\cos(x)}dx \\[0.1in] &= -\frac{\cos(x)}{\cos(x)} - \int - \frac{\cos(x) \times \sin(x)}{\cos(x)^2}dx \\[0.1in] &= -1 + \int \tan(x)dx \end{align*}$$

Y por lo tanto, tenemos :

$$ \int \tan(x)dx = -1 + \int \tan(x)dx \implies 0 = -1$$

Qué? El razonamiento suena bien para mí. Podría alguien explicar que algo salió mal?

Gracias, Christophe.

Answer 1

Sin siquiera leer respondo: la antiderivatives de una función son iguales a una constante aditiva, que es cualquiera de los dos antiderivatives siempre difieren por una constante en un intervalo.

Edit: Ok, después de haber leído la pregunta que me confirme mi sospecha, tenga en cuenta que el símbolo $\int f(x)dx$ no está bien definida la función. Usted debe interpretar el símbolo $\int f(x)dx$ como ser un undertermined función derivable que, una vez que diferenciar, los rendimientos de la $f(x)$. Aunque de manera más formal, creo que es más común para definir $\int f(x)dx$ como el conjunto de las funciones descritas anteriormente, que es, para algunos no degenerados intervalo de $I$, $$\int f(x)dx=\{F\in \Bbb R^I: \text{F is differentiable and }(\forall x\in I)(F'(x)=f(x))\}.$$

Usando esta definición tiene uno muy cuidadoso acerca de lo que significa con $\int f(x)dx=g(x)$, porque no significa lo que uno inicialmente sospechoso.

Answer 2

Vamos a probar el uso de "real" primitivos. Supongamos $-\pi/2<x<\pi/2$; a continuación, \begin{align} \int_0^x \tan t\,dt &=\left[(-\cos t)\frac{1}{\cos t}\right]_0^x -\int_0^x (-\cos t)\frac{\sin t}{\cos^2 t}\,dt\\ &=\bigl[-1\bigr]_0^x+\int_0^x\tan t\,dt\\ &=(-1)-(-1)+\int_0^x\tan t\,dt\\ &=\int_0^x\tan t\,dt \end{align} que por supuesto no dice mucho, no? ;-)

La fijación del límite inferior de la integración es la elección de un bien determinado primitivo (o antiderivada). Hágalo siempre en caso de duda.

Answer 3

Me gustaría decir que fueron capaces de demostrar que $-1 = 0$, pero, por desgracia, que la usó (o mucho) mal cálculo. :(

Mientras que la integración de la ecuación
$$\int\tan(x)~dx$$
usted debe separar en dos partes, como hizo para conseguir $\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx$,

A continuación, debe encontrar una $u$ e de $u$ de sustitución. $u = \cos(x)$, e $du = -\sin(x) dx$

a continuación, reemplace el $u$ $du$ conseguir $\int \frac{du}{u}$, lo que diferencia a $\ln|u|$ donde $u = \cos(x)$, por lo que la respuesta es $\ln|\cos(x)|$, no otra cosa.

Además, es mal cálculo para poner los límites en la ecuación antes de la diferenciación, de manera que toda la $\int \tan(x)dx =$ cosas es completamente incorrecta