¿Por qué algunos son convergentes integrales de Lebesgue "indefinido"?

Question

Yo a veces leer afirmaciones como

La integral de la $$\int_0^{\infty} dx \, \frac{\sin x}{x} $$ no existe como una integral de Lebesgue, porque no es absolutamente convergente.

Pero de acuerdo a mi entendimiento, la integral $$\int_0^{R} dx \, \frac{\sin x}{x} $$ existe como una integral de Lebesgue para cada $R>0$. ¿Por qué no podemos simplemente definir $$ \int_0^{\infty} dx \, \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{R \rightarrow \infty} \int_0^{R} dx \, \frac{\sin x}{x}, $$ y, por tanto, de dar sentido a la ex integral como una integral de Lebesgue? ¿No es esto también cómo se define el impropia de Riemann integrales, como un límite apropiado de las integrales? Por favor, señale cualquier malentendido.

Answer 1

Como se señaló anteriormente, para una función $f$ a ser Lebesgue - integral, la integral de su valor absoluto $|f|$ debe existir.

Esto es verdad no sólo para Lebesgue - integrales, pero siempre estamos integrando con respecto a una medida (en el sentido clásico); esto es una consecuencia de la definición de la integral (con respecto a una medida), que requiere que los $f$ tiene una integral convergente en ambos subconjuntos $f>0$$f<0$. Que no es el caso de la Lebesgue integral de $\displaystyle{\frac {\sin x} x}$.

El análogo en el caso discreto (tomando, por ejemplo, el conteo de medida en $\mathbb N$) es que la integrable funciones corresponden secuencias de $\{a_n\}$ tales que la serie $$\sum_n |a_n|<\infty.$$ La convergencia absoluta de la serie de garantías que podemos tomar la suma "en cualquier orden que nos gusta" y obtener el mismo valor (la integral). Este es exactamente el mismo para la integral con respecto a cualquier medida (Lebesgue en particular): Integrable funciones son aquellos en los que el valor de la integral no depende de la "orden de integración". Que no es el caso de $$ \int_{\mathbb \R} \frac{\sin x} x\ dx. $$ Su discreto analogía sería una serie como $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac 1 n=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N (-1)^n \frac 1 n $$ que aunque converge, no convergen absolutamente, causando que rearrenging el orden de la suma le da diferentes valores (todos de los cuales podría reclamar el valor de la suma o integral). Por lo tanto, en aquellos casos en los que la integral no está definido.

Answer 2

Aunque $$ \int_0^R dx \frac{\sin x}{x} $$ exists as a Lebesgue integral for all $R>0$, lo que significa que $$I(R) \equiv \int_0^R dx \left|\frac{\sin x}{x} \right|$$ has a finite value for all $R$, $$ \lim_{R\rightarrow\infty} I(R) $$ diverge (va hasta el infinito aproximadamente como $k\ln R$) , por lo que la integral de Lebesgue para $$ \int_0^\infty dx \frac{\sin x}{x} $$ no existe.