valor mínimo de $\cos(A-B)+\cos(B-C) +\cos(C-A)$ $-3/2$

Question

Cómo probar que el valor mínimo de $\cos(A-B)+\cos(B-C) +\cos(C-A)$ $-3/2$

Answer 1

Comenzando con $F=\cos(a-b)+\cos(b-c)+\cos(c-a)$ ampliar los cosenos a través de la adición de la fórmula para el coseno, y obtener $$\cos \cos b + \cos b \cos c + \cos c \cos \\ +\sin \pecado b + \pecado b \pecado c + \sin c \pecado.$$ A continuación, después de aplicar el $(u+v+w)^2-u^2-v^2-w^2=2uv+2vw+2wu,$ el doble de $2F$ de nuestra función objetivo puede ser visto $$2F=(\cos a+\cos b +\cos c)^2+(\sin a +\sin b + \sin c)^2-3.$$ Nota a la combinación de los términos por ejemplo, $-\cos^2 a -\sin^2 a=-1$ para obtener el resultado final $-3.$ Por lo tanto $2F \ge -3$ es decir $F \ge -3/2.$ Ya que no hay valores de $a,b,c$ que logran $F=-3/2$ este acabados de una prueba.

Answer 2

Como Berci sugerido ,$x=A-B,y=B-C \to f=\cos {x} +\cos{y}+cos{(x+y)}$

$f=2\cos{\dfrac{x+y}{2}} \cos{\dfrac{x-y}{2}}+2\left(\cos{\dfrac{x+y}{2}}\right)^2-1 \ge 2\cos{\dfrac{x+y}{2}}+2\left(\cos{\dfrac{x+y}{2}}\right)^2-1 =2\left(\cos{\dfrac{x+y}{2}}+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2} \ge -\dfrac{3}{2}$

primero "$\ge$ " : $\cos{\dfrac{x+y}{2}}<0,x=y$

segundo "$\ge$ " : $\cos{\dfrac{x+y}{2}}=-\dfrac{1}{2}$

así que el "=" se mantenga al $x=y= \dfrac{2\pi}{3}(or \dfrac{4\pi}{3})+2k\pi$

Answer 3

Si $\displaystyle2x+2y+2z=n\pi,$

$$F=\cos2x+\cos2y+\cos2z=2\cos(x+y)\cos(x-y)+2\cos^2z-1$$

Como $\displaystyle x+y=n\pi-y, \cos(x+y)=(-1)^n\cos z$ $$\implies2\cos^2z\pm2\cos z\cos(x-y)-(1+F)=0$$ which is a Quadratic Equation in $\cos z$

Así, el discriminante debe ser $\ge0$

$$\implies (2\cos(x-y))^2\ge 4.\cdot2(-1-F)\iff 2F\ge-2-2\cos^2(x-y)\ge-3$$

La igualdad ocurre si $\cos^2(x-y)=1\implies \cos2(x-y)=2\cos^2(x-y)-1=1\iff 2(x-y)=2m\pi$ donde $m$ es un número entero